Integral de Darboux

Em análise real, um campo da matemática, a integral de Darboux ou soma de Darboux é uma definição possível da integral de uma função. Integrais de Darboux são equivalentes as integrais de Riemann, o que significa que uma função é integrável por integral de Darboux se, e somente se, for integrável pela integral de Riemann, e os valores das duas integrais, caso existam, forem iguais. Integrais de Darboux têm a vantagem de serem mais simples de definir que as integrais de Riemann. Elas são nomeadas em virtude de seu criador, Gaston Darboux.

As integrais inferior e superior de Darboux

Somas de Darboux inferior (verde) e superior (verde mais lavanda) para quatro subintervalos.

Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita de valores x_i tais que

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.\,\!}$

Cada intervalo [x_i−1,x_i] é chamado um subintervalo da partição. Sendo ƒ:[a,b]→R uma função limitada, e fazendo P ser uma partição de [a,b]:

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}$

Tem-se

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

A soma superior de Darboux de ƒ em relação a P é

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

A soma inferior de Darboux de ƒ em relação a P é

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

A integral superior de Darboux de ƒ é

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!}$

A integral inferior de Darboux de ƒ é

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ uma particao de }}[a,b]\}.\,\!}$

Se U_ƒ = L_ƒ, então diz-se que ƒ é integrável por integral de Darboux e faz-se

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f},\,\!}$

o valor comum das integrais superior e inferior de Darboux.[1]

Referências

1. Weisstein, Eric W. «Darboux Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 17 de agosto de 2021