Independência algébrica

Em álgebra abstrata, um subconjunto S de um corpo L é algebricamente independente sobre um subcorpo K se os elementos de S não satisfazem nenhuma equação polinômica não-trivial com coeficientes em K. Isto significa que para toda série finita α₁, ..., α_n de elementos de S, não sendo dois idênticas, e todo polinômio distinto de zero P(x₁, ..., x_n) com coeficientes em K, temos

P(α₁,...,α_n) ≠ 0.

Em particular, um conjunto de um elemento {α} é algebricamente independente sobre K se e somente se α é transcendente sobre K.

Em geral, todos os elementos de um conjunto algebricamente independente sobre K são necessariamente transcendentes sobre K, mas isso está longe de ser uma condição suficiente.

Por exemplo, o subconjunto {√π, 2π+1} dos reais R não é algebricamente independente sobre os racionais Q, dado que o polinômio distinto de zero

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$

resulta zero quando √π é substituido por x₁ e 2π+1 é substituido por x₂.

O teorema de Lindemann-Weierstrass pode frequentemente ser usado para provar que alguns conjuntos são algebricamente independentes sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Afirma que quando α₁,...,α_n são números algébricos que sejam linearmente independentes sobre Q, então e^α1,...,e^αn são algebricamente independentes sobre Q.

Não se conhece se o conjunto {π, e} é algebricamente independente sobre Q.[1] Nesterenko provou em 1996 que {π, e^π, Γ(1/4)} é algebricamente independente sobre Q.[2]

Dada uma Extensão de corpo L/K, podemos usar o lema de Zorn para mostrar que sempre existe um máximo subconjunto algebricamente independente de L sobre K. Mais ainda, todos os máximos subconjuntos algebricamente independentes tem a mesma cardinalidade, conhecida como grau de transcendência da extensão.

Referências

1. Patrick Morandi (1996). Field and Galois Theory. Springer. pp. 174.
2. Nesterenko, Yuri V (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914.

Ligações externas

Chen, Johnny, "Algebraically Independent" em MathWorld. (em inglês)