Funções elípticas de Jacobi

Função eliptica de Jacobi plotada em vermelho com k = 0.05 e verde com k = 1.05

As funções elípticas de Jacobi, introduzidas pelo matemático prussiano Carl Gustav Jakob Jacobi por volta de 1830, são um conjunto de funções elípticas e funções teta, que tem importância histórica, além de possuirem várias aplicações (como na solução da equação do pêndulo).

As funções elípticas tem várias analogias com as funções trigonométricas, inclusive a notação (sn, cn, etc) tem analogia com a trigonometria (sin e cos).

História

A origem destas funções está na integral elíptica, uma classe de integrais onde o argumento a ser integrado contém a raiz quadrada de um polinômio do terceiro ou quarto grau.[1] A solução destas integrais pode ser obtida a partir de integrais onde aparece a expressão ${\displaystyle {\sqrt {1-c^{2}sin^{2}\theta }}\,}$, as integrais elípticas de primeira, segunda e terceira espécie.[2][3] O nome integral elíptica[Nota 1] deriva de que a integral elíptica de segunda espécie pode ser usada para calcular o comprimento do arco sobre uma elipse.[4]

Estas integrais foram estudadas por Legendre, [5] porém Abel e, mais tarde, Jacobi, estudaram estas integrais através da inversão do seu argumento, ou seja, eles obtiveram as funções elípticas após a inversão das integrais elípticas.[5][6]

As funções elípticas foram definidas a partir da integral elíptica de primeira espécie u, como sendo funções de u e do módulo k. O ângulo φ foi chamado de argumento, representado como am(u, k), e as funções elípticas como sin am(u, k), cos am(u, k) e Δ am(u, k).[7] As expressões sin am u, cos am u e Δ am u foram simplificadas ^[quem?] para sn, cn e dn, respectivamente.[8]

Definição

Seja

${\displaystyle u=F(\phi ,k)=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,}$

onde k < 1 e ${\displaystyle x=\sin \phi \,}$; φ é a amplitude de u e é escrito como ${\displaystyle am(u,modk)\,}$, ou, de forma mais simples, am(u); ${\displaystyle x=\sin \phi \,}$ [9]

A função elíptica sn é definida como:[9]

sn(u) = sen(φ) = x

Analogamente, temos:[9]

${\displaystyle cn(u)=\cos(\phi )={\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

${\displaystyle dn(u)=\Delta nu=\Delta \phi ={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}\,}$

Propriedades

As funções elípticas tem, em comum com as funções trigonométricas e a função exponencial complexa, o fato de serem funções periódicas. Enquanto o seno e o cosseno tem período ${\displaystyle 2\pi \,}$ e a função exponencial tem período ${\displaystyle 2i\pi \,}$, as funções elípticas tem dois períodos, ou seja, são duplamente periódicas. Um dos períodos é real, e o outro é imaginário.[7]

Os períodos são calculados a partir da função F [Nota 2] definida acima:

${\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}\,}$

e dos valores K e K' :

${\displaystyle K=F({\frac {1}{2}}\pi ,k)\,}$

${\displaystyle K'=F({\frac {1}{2}}\pi ,k')\,}$ para ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}\,}$

e satisfazem:[9]

${\displaystyle sn(u+4K)=sn(u)\,}$

${\displaystyle cn(u+4K)=cn(u)\,}$

${\displaystyle dn(u+2K)=dn(u)\,}$

${\displaystyle sn(u+2iK')=sn(u)\,}$ [Nota 3]

${\displaystyle cn(u+4iK')=cn(u)\,}$ [Nota 4]

${\displaystyle dn(u+2iK')=dn(u)\,}$[Nota 5]

Notas e referências

Notas

1. No texto de Hymers, as integrais elípticas também são chamadas de funções elípticas.
2. F é a integral elíptica de primeira espécie.
3. A fórmula para o período imaginário da função sn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 742, m = 0 e n = 2).
4. A fórmula para o período imaginário da função cn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 743, m = 0 e n = 2).
5. A fórmula para o período imaginário da função dn no texto de Peirce não está explícita, mas pode ser facilmente deduzida (equação 744, m = 0 e n = 2).

Referências

1. Augustus De Morgan, The Differential and Integral Calculus Containing Differentiation, Integration... (1842), p.656 [google books]
2. De Morgan, p.657
3. John Hymers, A treatise on the Integral Calculus (1835), Section IX, Elliptic Functions, p.183 [google books]
4. Hymers, p.182
5. Florian Cajoli, A History of Mathematics (1894), p.407 [em linha]
6. Henry Frederick Baker, Abelian Functions: Abel's Theorem and the Allied Theory of Theta Functions (1897), Chapter IX, Jacobi's inversion problem, p.235
7. William Thomas Brande, George William Cox Longmans, Green, and Company, A Dictionary of Science, Literature, & Art: Comprising the Definitions and Derivations of the Scientific Terms in General Use, Together with the History and Descriptions of the Scientific Principles of Nearly Every Branch of Human Knowledge, Volume 1 (1872), p.767s [google books]
8. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Volumes 1-2 (1928), p.274 [google books]
9. Benjamin Osgood Peirce, A Short Table of Integrals (1899), C. - Elliptic Functions, p.84ss [google books]