Forma bilinear

Em matemática, sobretudo na álgebra linear e na análise funcional, uma forma bilinear definida em um espaço vetorial (sobre um corpo ${\displaystyle K\,}$) ${\displaystyle V\,}$ é uma função ${\displaystyle B:V\times V\to K\,}$ linear em ambas as variáveis.

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}}$

Uma forma bilinear em F^n pode ser escrita como:

${\displaystyle B({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {x}}^{\mathrm {T} }A{\textbf {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}$

onde A é uma matriz de dimensões n x n.

Propriedades

Existem três casos importantes de formas bilineares:

• simétricas: quando B(u, v) = B(v, u) para todo u, v.
• alternadas: quando B(v, v) = 0 para todo v.
• anti-simétrica: quando B(u, v) = - B(v, u) para todo u, v.

Alternada implica anti-simétrica.

Currying

Usando o que em informática chama-se currying, pode-se interpretar toda função de duas variáveis como uma função de uma variável, cujo resultado é uma função.

Ou seja, uma forma bilinear B pode ser interpretada como ${\displaystyle B_{1}\in L(V,L(V,K))\,}$, ou seja:

${\displaystyle B_{1}:V\to L(V,K)\,}$ é uma função linear, definida por

${\displaystyle (B_{1}(v))(w)=B(v,w)\,}$

Em outras palavras, B₁ é uma transformação linear de V para o espaço dual V^*

Ver também

• Operador bilinear
• Forma quadrática
• Forma sesquilinear
• Produto interno
• Função n-linear