Fórmula de inversão de Möbius

A fórmula de inversão de Möbius, assim denominada em homenagem a August Ferdinand Möbius (Schulpforta, 17 de novembro de 1790 - Leipzig, 26 de setembro de 1868) é resultado de teoria elementar dos números que permite explicitar uma função aritmética em termos de uma outra, definida a partir da primeira, e da função de Möbius. Objetivamente, o resultado diz que se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ são duas funções aritméticas tais que

${\displaystyle f(n)=\displaystyle \sum _{d|n}g(d)}$, então vale ${\displaystyle g(n)=\displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)}$

A demonstração que apresentamos a seguir tem a mesma essência de muitas encontradas nos livros de teoria dos números. No entanto, a modificação introduzida elimina um desconforto causado por uma permuta de somatórios muito comum em tais livros didáticos.

Demonstração

Dado ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, denotemos por ${\displaystyle D(n)}$ o conjunto dos divisores de ${\displaystyle n}$ e para cada ${\displaystyle d\in D(n)}$ seja ${\displaystyle \chi _{d}:D(n)\to \{0,1\}}$ a função característica de ${\displaystyle D(d)\subset D(n)}$, ou seja, dado ${\displaystyle m\in D(n)}$ temos ${\displaystyle \chi _{d}(m)=1}$, se ${\displaystyle m\in D(d)}$ e ${\displaystyle \chi _{d}(m)=0}$ se ${\displaystyle m\not \in D(d)}$. Agora para mostrar que ${\displaystyle g(n)=\displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)}$, partimos do segundo membro e chegamos no primeiro. De fato, Inicialmente observamos que para cada ${\displaystyle m\in D(n)}$ temos ${\displaystyle \displaystyle \sum _{d|n}\chi _{d}(m)\mu (n/d)=\delta _{mn}}$, onde ${\displaystyle \delta _{mn}=1}$, se ${\displaystyle m=n}$ e ${\displaystyle \delta _{mn}=0}$ se ${\displaystyle m\neq n}$. Com efeito, as parcelas que contribuem efetivamente no somatório acima são aquelas para as quais ${\displaystyle d}$ é multiplo de ${\displaystyle m}$. Assim, podem-se escrever ${\displaystyle d=mq}$, com ${\displaystyle 1\leq q\leq n/m}$. Fazendo ${\displaystyle n'={\frac {n}{m}}}$ e usando o fato que ${\displaystyle d|n}$ segue que ${\displaystyle q|n'}$. Reciprocamente, se ${\displaystyle q|n'}$ então ${\displaystyle d=mq}$ é divisor de ${\displaystyle n}$ e múltiplo de ${\displaystyle m}$.

Portanto, podemos escrever

${\displaystyle \displaystyle \sum _{d|n}\chi _{d}(m)\mu (n/d)=\displaystyle \sum _{q|n'}\mu (n'/q)=\delta _{n'1}=\delta _{mn}}$. A penúltima igualdade é conhecida e a última segue da definição do delta de Kronecker, lembrando que ${\displaystyle n'={\frac {n}{m}}}$.

Por fim,

${\displaystyle \displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)=\displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)\displaystyle \sum _{m|d}g(m)=\displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)\displaystyle \sum _{m|n}\chi _{d}(m)g(m)}$ ${\displaystyle =\displaystyle \sum _{d|n}\displaystyle \sum _{m|n}\mu (n/d)\chi _{d}(m)g(m)=\displaystyle \sum _{m|n}\displaystyle \sum _{d|n}\mu (n/d)\chi _{d}(m)g(m)=\displaystyle \sum _{m|n}\displaystyle (\sum _{d|n}\mu (n/d)\chi _{d}(m))g(m)}$ ${\displaystyle =\displaystyle \sum _{m|n}\displaystyle \delta _{mn}g(m)=g(n)}$. Isso conclui a demonstração.

Também vale notar que podemos reverter o processo e reobter a função ${\displaystyle f}$ a partir de ${\displaystyle g}$. Nas palavras do autor da referência abaixo, se duas funções aritméticas satisfazem uma das equações dadas no enunciado, então também satisfazem a outra. De fato, assumindo que a segunda equação ocorre e mantendo as notações acima, temos

${\displaystyle \displaystyle \sum _{d|n}g(d)=\displaystyle \sum _{d|n}\displaystyle \sum _{m|d}\mu (d/m)f(m)=\displaystyle \sum _{d|n}\displaystyle \sum _{m|n}\chi _{d}(m)\mu (d/m)f(m)=\displaystyle \sum _{m|n}\displaystyle (\sum _{d|n}\chi _{d}(m)\mu (d/m))f(m)}$ ${\displaystyle =\displaystyle \sum _{m|n}\displaystyle (\sum _{q|n'}\mu (q))f(m)=\displaystyle \sum _{m|n}\delta _{n'1}f(m)=\displaystyle \sum _{m|n}\delta _{mn}f(m)=f(n).}$

Referências bibliográficas

• Santos, J.P.O., Introdução à Teoria dos Números, Matemática Universitária, IMPA.

• Portal da matemática

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