Espaço normal

Em topologia, e ramos relacionados da matemática, um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é dito normal caso ele satisfaça a seguinte propriedade de separação:

Para todo par de fechados dijuntos ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle X}$ existem abertos disjuntos ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ de forma que ${\displaystyle E\subset U}$ e ${\displaystyle F\subset V}$.

Dizemos também que ${\displaystyle X}$ separa fechados.

Quando X é métrico e Hausdorff, então é normal e diz-se que X é um espaço T₄.

Os conjuntos fechados E e F, aqui representados por discos fechados em lados opostos da figura, estão separados pelas suas respectivas vizinhanças U e V, aqui representadas por discos maiores, abertos e disjuntos.

Exemplos de espaços topológicos normais

• Na análise matemática, a maior parte dos espaços encontrados são normais, posto que qualquer espaço métrico é normal.
• Um espaço X com a topologia grosseira ou com a topologia discreta é normal (trivial: todo fechado é aberto nestas topologias)
• Qualquer espaço compacto e Hausdorff é normal.
• Todo espaço paracompacto e Hausdorff é normal, assim como todo espaço regular e paracompacto.
• Toda variedade topológica paracompacta é normal. No entanto, existem variedades topológicas que não são paracompactas e tampouco normais.

Propriedades

Todo espaço topológico normal ${\displaystyle X}$ possui "muitas aplicações contínuas a valores reais". Esta afirmação pode ser formalizada pelo lema de Urysohn: Sejam ${\displaystyle A,B\subset X}$ dois subconjuntos fechados e disjuntos. Então existe ${\displaystyle f:X\rightarrow [0,1]}$ aplicação contínua tal que ${\displaystyle f(x)=1}$, para todo ${\displaystyle x\in A}$ e ${\displaystyle f(x)=0}$, para todo ${\displaystyle x\in B}$.

De forma mais geral, temos o lema da extensão de Tietze:

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço topológico normal. Se ${\displaystyle f:A\rightarrow [0,1]}$ é uma aplicação contínua, onde ${\displaystyle A\subset X}$ é fechado, então existe uma extensão contínua de ${\displaystyle f}$ com domínio em ${\displaystyle X}$, isto é; existe ${\displaystyle F:X\rightarrow [0,1]}$ contínua tal que ${\displaystyle F(x)=f(x)}$, para todo ${\displaystyle x\in A}$.