Equação do sexto grau

Gráfico de uma função de sexto grau.

Equações monovariáveis do sexto grau são equações que podem ser expressas na forma ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0}$, onde ${\displaystyle x}$ é a incógnita, ${\displaystyle a;b;c;d;e;f}$ e ${\displaystyle g}$ são coeficientes e ${\displaystyle a\neq 0,}$ pois no contrário a equação teria grau 5.

• Exemplo:

1. ${\displaystyle x^{6}+4x^{5}-58x^{4}-148x^{3}+813x^{2}+144x-756=0,}$ cujas raízes são: ${\displaystyle x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 6,x_{5}=3}$ e ${\displaystyle x_{6}=-7}$
2. ${\displaystyle x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1=0,}$ cujas raízes são: ${\displaystyle x_{1,2,3}=1}$ e ${\displaystyle x_{4,5,6}=-1}$
3. ${\displaystyle 28x^{6}+89x^{5}-408x^{4}-616x^{3}+790x^{2}+207x-90=0,}$ cujas raízes são: ${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}={\dfrac {1}{4}},x_{4}=-{\dfrac {3}{7}},x_{5}=-2}$ e ${\displaystyle x_{6}=-5}$

Toda equação do sexto grau possui exatamente 6 soluções(ou raízes), quer reais, quer complexas.

Pelo teorema de Abel-Ruffini, equações de grau superior a 5 não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, porém existem exceções.

Equação Triquadrática

A equação triquadrática é um exemplo de equação de sexto grau solúvel por radicais, que é expressa na forma:

${\displaystyle ax^{6}+dx^{3}+g=0}$

que pode ser resolvida utilizando a substituição ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{y}}}$, resultando na equação quadrática ${\displaystyle ay^{2}+dy+g,}$ cujas raízes são expressas por ${\displaystyle y={\dfrac {-d\pm {\sqrt {d^{2}-4ag}}}{2a}},}$ onde as raízes de ${\displaystyle x}$ podem ser descobertas de duas maneiras:

Primeiro método: descobrem-se as duas raízes ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2}}$, tira-se as raízes cúbicas simples e tem-se ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2},}$ divide-se o polinômio por ${\displaystyle x-x_{1}}$ e ${\displaystyle x-x_{2}}$: ${\displaystyle {\dfrac {ax^{6}+dx^{3}+g}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}}}$ e obtém-se uma equação quártica, da qual pode-se extrair as últimas 4 raízes.

Segundo método: Após descobrir ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2}}$, retira-se as 3 raízes cúbicas de ${\displaystyle y_{1}}$ e as 3 raízes cúbicas de ${\displaystyle y_{2}}$, logo tem-se as 6 raízes de ${\displaystyle x}$.

• Exemplo:

1. ${\displaystyle x^{6}+4x^{3}+1=0,}$ primeiro se utiliza a fórmula ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{y}},}$ logo se tem: ${\displaystyle y^{2}+4y+1=0,}$ onde as raízes de ${\displaystyle y}$ são dadas por: ${\displaystyle y={\dfrac {-4\pm {\sqrt {(4)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}},}$ que simplificando chegamos em ${\displaystyle y=-2\pm {\sqrt {3}}}$, então ${\displaystyle x^{6}+4x^{3}+1=0}$ possui as raízes ${\displaystyle x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-2+{\sqrt {3}}}}}$ e ${\displaystyle x_{4,5,6}={\sqrt[{3}]{-2-{\sqrt {3}}}}}$

Equação Bicúbica

A equação bicúbica é uma equação de sexto grau no formato ${\displaystyle ax^{6}+cx^{4}+ex^{2}+g=0}$ e pode-se usar a substituição de ${\displaystyle x={\sqrt {y}},}$ onde a equação se transforma em ${\displaystyle ay^{3}+cy^{2}+ey+g=0,}$ que é uma cúbica resolvente, onde após achadas as raízes, pode-se tirar suas raízes quadradas tal que: ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {y_{1}}},x_{3,4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}}$ e ${\displaystyle x_{5,6}=\pm {\sqrt {y_{3}}}.}$

• Exemplo: ${\displaystyle x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0,}$ utiliza-se a substituição ${\displaystyle x={\sqrt {y}},}$ que transforma a equação em ${\displaystyle y^{3}-14y^{2}+49y-36=0,}$ pela variação de sinais percebe-se que ${\displaystyle y}$ possui raízes positivas, pelo teorema das raízes racionais, há haver raízes inteiras, estas apenas poderão ser ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 9,\pm 18}$ e ${\displaystyle \pm 36.}$ Com a substituição, tem-se que apenas ${\displaystyle 1,4}$ e ${\displaystyle 9}$ são soluções de ${\displaystyle y.}$ Com isso temos que ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}},}$ logo a equação ${\displaystyle x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0}$ possui as raízes ${\displaystyle x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 2}$ e ${\displaystyle x_{5,6}=\pm 3.}$

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