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Constante de ChampernowneEm matemática, a constante de Champernowne C10 é uma constante real transcendental, cuja expansão decimal tem propriedades importantes. É nomeada em homenagem ao economista e matemático D. G. Champernowne, que a publicou como uma graduação em 1933.[1] Para a base 10, o número é definido pela concatenação de representações de números inteiros sucessivos: A Champernowne constante também pode ser construída em outras bases, da mesma forma, por exemplo:
A constante de Champernowne pode ser expressa exatamente como uma série infinita: e esta série é generalizada para bases b arbitrárias substituindo 10 e 9 com b e b − 1 , respectivamente. A palavra de Champernowne ou palavra de Barbier é a sequência de dígitos de Ck.[2][3] NormalidadeUm número real x é dito ser normal se a sua dígitos em cada base de seguir uma distribuição uniforme: todos os dígitos, sendo igualmente prováveis, todos os pares de dígitos igualmente prováveis, todos os trigêmeos de dígitos igualmente prováveis, etc. x é dito ser normal na base b se os seus dígitos na base b de seguir uma distribuição uniforme. Se denotamos uma seqüência de dígitos como [a0,a1,...], em seguida, na base dez, seria de se esperar cadeias de caracteres [0],[1],[2],...,[9] para ocorrer 1/10 do tempo, cadeias de [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] para ocorrer 1/100 do tempo, e assim por diante, em um número normal. Champernowne provou que é normal na base dez,[1] enquanto Nakai e Shiokawa provou mais geral do teorema, corolário do que é que é normal para qualquer base .[4] é um problema em aberto se é normal em bases. Continuou fração de expansão  A simples continuação da fração de expansão de Champernowne constante tem sido estudado bem. Kurt Mahler mostrou que a constante é transcendental;[5] , portanto, a continuação de seu fração não terminar (porque não é racional) e é aperiodic (porque ele não é um irredutível quadrática). Os termos da continuação da fração de expansão apresentar comportamento errático, com enorme de termos que aparecem entre muitos pequenos. Por exemplo, na base 10,
O grande número na posição 19, tem 166 dígitos, e o próximo grande termo na posição 41 da continuação da fração tem 2504 dígitos. O fato de que há um tão grande número como os termos da continuação da fração de expansão é equivalente a dizer que o convergents obtidos por parar antes de estes grandes números fornecem uma excelente aproximação da constante de Champernowne. Ele pode ser entendido a partir de séries infinitas de expressão : para um determinado podemos sempre aproximado da soma mais de definindo o limite superior para em vez de. Em seguida, podemos ignorar os termos de maior. Por exemplo, se continuarmos a mais baixa ordem de n, é equivalente a truncar antes da 4ª parcial quociente, podemos obter a soma parcial o que se aproxima de Champernowne constante com um erro de cerca de 1 × 10−9. Enquanto truncando pouco antes de 18 parcial do quociente, temos a aproximação de segunda ordem: o que se aproxima de Champernowne constante com erro de aproximadamente 9 × 10−190. Irracionalidade medidaA irracionalidade de medida de é e , mais genericamente, para qualquer base.[6] Ver também
Referências
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