Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele[1].
Letras i e j minúsculas, com pontos em vermelho
Espaço conexo
Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)
Definição
Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que , e [2].
Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:
com e não vazios
Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação representa o fecho do conjunto A.
Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.
Teoremas
Teorema 1
Dados dois conjuntos B e C, então se e somente se existem F e G abertos tais que , e .
Teorema 2
Um subconjunto E da reta real é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se , e , então .
Corolário
Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.
Teorema 3
A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).
Teorema 4
O fecho de um conjunto conexo é conexo.
Teorema 5
O produto cartesiano de espaços métricos é conexo se, e somente se, cada fator é conexo.
Exemplos e observações
O cilindro C={} é homeomorfo ao produto cartesiano . Como são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
