Condição de Paley-Wiener

Em análise de sinais, a condição de Paley-Wiener, também conhecida como teorema de Paley-Wiener e critério de Paley-Wiener, estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é causal, a partir de sua resposta em frequência.

Se a resposta no domínio do tempo for dada por h(t)[nota 1], então, se o sistema é causal,

• a energia de h(t) é finita (condição de estabilidade da resposta)[nota 2][nota 3], e
• h(t) = 0 para t < 0 (condição de causalidade da resposta).

O teorema de Paley-Wiener estabelece que, se as condições acima são satisfeitas, então a resposta no domínio da frequência do sistema, dada por H(ω)[nota 4], é também limitada tal que

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\left|\ln(H(\omega ))\right|\;d\omega \;<\;\infty \;\;\;\;\;(1a)}$

Inversamente, se a equação (1a) é satisfeita e a energia de H(ω) é finita, então as condições de estabilidade e causalidade do sistema são satisfeitas. Nesse caso, pode-se escrever a resposta em frequência na forma

${\displaystyle H(\omega )\;=\;H_{m}(\omega )\;=\;|H(\omega )|\cdot e^{i\cdot \phi (\omega )}\;\;\;\;\;(2a)}$

onde φ(ω) é a resposta em fase do sistema[1]. Quando escrita nessa forma, H(ω) é chamada de função de transferência de mínima fase porque todos os seus zeros estão localizados na metade esquerda do plano complexo[2].

A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|\ln(|h(t)|)|}{1\;-\;t^{2}}}\;dt\;<\;\infty \;\;\;\;\;(1b)}$

A equação (1b) estabelece que a amplitude da resposta do sistema (|h(t)|) não pode se aproximar de 0 mais rapidamente que uma função exponencial qualquer[3]. Além disso, h(t) pode ser nula apenas em um número finito de pontos, nunca em um intervalo, porque nesse caso o valor do módulo do logaritmo seria infinito.[2].

Uma terceira formulação matemática é a seguinte:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|\ln(|H(\omega )|)|}{1\;+\;\omega ^{2}}}\;d\omega \;<\;\infty \;\;\;\;\;(1c)}$

que estabelece, para a resposta em frequência, uma condição similar à estabelecida pela equação (1b) para a resposta no domínio do tempo[2].

Notas

1. Ou seja, h(t) é a saída do sistema quando um impulso unitário é aplicado na entrada.
2. A energia de um sinal h(t) é calculada por meio do Teorema de Parseval/Teorema de Plancherel/fórmula de Rayleigh.
3. Uma maneira alternativa de enunciar essa condição é dizer que h(t) é uma função de quadrado integrável
4. Ou seja, a Transformada de Fourier de h(t).

Ver também

• Transformada de Hilbert
• Relações de Kramers–Kronig

Referências

1. A. Poularikas - The Z-Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 6, pag. 530
2. S. Hahn - The Hilbert Transforms in A. Poularikas - op.cit., Cap. 7, pag. 639
3. S. Hahn - op.cit., Cap. 7, pag. 630