Circuito LC

Esquema elétrico de um circuito LC

Diagrama animado do circuito LC

Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.

Definição

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com uma frequência angular ${\displaystyle \omega }$ dada por

${\displaystyle \omega ={\sqrt {1 \over LC}}}$.

Nessa expressão, ${\displaystyle L}$ é a indutância e ${\displaystyle C}$ a capacitância.[1]

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Frequência de ressonância

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

${\displaystyle \omega ={\sqrt {1 \over LC}}}$

A frequência equivalente, medida em hertz é

${\displaystyle f={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

Análise do circuito

Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, ${\displaystyle V_{C}}$ deve ser igual à tensão através do indutor, ${\displaystyle V_{L}}$:

${\displaystyle V_{C}=V_{L}}$

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

${\displaystyle i_{C}+i_{L}}$ = 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {di_{L}}{dt}}}$

e

${\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {dV_{C}}{dt}}}$

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}$

Então definimos o parâmetro ω como segue:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0}$

O polinomial associado é ${\displaystyle s^{2}+\omega ^{2}=0}$, então

${\displaystyle s=+j\omega }$

ou

${\displaystyle s=-j\omega }$

onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

${\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}}$

e pode ser resolvida para ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.

Se as condições iniciais são tais que ${\displaystyle A=B}$, então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude ${\displaystyle 2A}$ e frequência angular ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$.

Deste modo, a solução resultante se torna:

${\displaystyle i(t)=2Acos(\omega t)}$

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

${\displaystyle i(t=0)=2A}$

e

${\displaystyle {\frac {di}{dt}}(t=0)=0}$

Cálculo da capacitância ou da indutância

A equação ${\displaystyle F={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}}$ recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.

Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância: ${\displaystyle C={1 \over {LF^{2}4\pi ^{2}}}}$

Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância: ${\displaystyle L={1 \over {CF^{2}4\pi ^{2}}}}$

Impedância dos circuitos LC

LC série

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

${\displaystyle Z=Z_{L}+Z_{C}}$

Escrevendo a impedância indutiva como ${\displaystyle Z_{L}=j\omega L}$, a impedância capacitiva como ${\displaystyle Z_{C}={\frac {-j}{\omega C}}}$ e substituindo nós temos:

${\displaystyle Z=j\omega L+{\frac {-j}{\omega C}}}$

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

${\displaystyle Z={\frac {(\omega ^{2}LC-1)j}{\omega C}}}$

Note que o numerador implica que se ${\displaystyle \omega ^{2}LC=1}$ a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

LC paralelo

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

${\displaystyle Z={\frac {Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}}}$

e após a substituição de ${\displaystyle Z_{L}}$ e ${\displaystyle Z_{C}}$, nós temos:

${\displaystyle Z={\frac {\dfrac {L}{C}}{\dfrac {(\omega ^{2}LC-1)j}{\omega C}}}}$

o que simplifica a:

${\displaystyle Z={\frac {-L\omega j}{\omega ^{2}LC-1}}}$

Note que ${\displaystyle \lim _{\omega ^{2}LC\to 1}Z=\infty }$ porém para todos os outros valores de ${\displaystyle \omega ^{2}LC}$ a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC.

Seletividade

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quanto maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.

Ver também

• Frequência de ressonância
• Circuito RLC
• Circuito RC
• Circuito RL

Referências

1. Silva, Claudio Elias; et al. (2014). Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson. p. 352. ISBN 978-85-430-0111-1 

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