Bissetriz

A bissetriz (AO 1945: bissectriz) é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes.[1]

Tipos de bissetriz

Existem dois tipos de bissetriz:

  • A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
  • A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.

Propriedades de uma bissetriz

Construção com régua e compasso

Construção de uma bissetriz
Traçado da bissetriz de um ângulo usando régua e compasso:
  • Centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência qualquer, a interseção com as semirretas determina os pontos A e B.
  • Centre o compasso em A e trace um arco de circunferência maior do que a metade do segmento AB, a fim de evitar imprecisões.
  • Centre o compasso em B e trace o mesmo arco anterior.
  • A interseção dos arcos determina o ponto C.
  • A bissetriz do ângulo O passa pelos pontos C e O.

Para a bissetriz de um ângulo côncavo

A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.

Bissetrizes de um triângulo

Bissetrizes de um triângulo e círculos exinscritos e inscritos

Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.

  • As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
  • É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é tangente a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.


Teorema da bissetriz interna

Neste triângulo, BD:DC = AB:AC.

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente. Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:


Teorema da bissetriz externa

Neste triângulo BH:CH=AB:AC

O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:

Referências

  1. ↑ Putnoki, José Carlos (1990). Elementos de geometria e desenho geométrico. [S.l.]: Scipione. Vol. 1 

Bibliografia

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também

Ligações externas