Aproximação da identidade

Em matemática, uma aproximação da identidade ou função molificadora é uma função suave com certas propriedades especiais usada para aproximar funções (ou funções generalidas) por funções suaves, via convolução.

Definição

Define-se como aproximação na unidade uma função suave de suporte compacto em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\,}$.

Propriedades

• Se ${\displaystyle \phi (x)\,}$ é uma molificadora em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\,}$, então a sequência ${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n}\,}$ dada por:

${\displaystyle \phi _{n}(x)=n^{k}\phi (nx)\,}$ é uma sequência delta.

• A convolução ${\displaystyle \phi (x)*f(x)}$ é uma função suave para qualquer função ${\displaystyle f\in L^{p}\,}$.