Filho do professor de direito Abraham Kästner. Casou em 1757 com Anna Rosina Baumann, falecida em 4 de março de 1758. Casou depois com a viuva de um oficial francês.
Dentre suas diversas publicações matemáticas destaca-se Anfangsgründe der Mathematik (Göttingen 1758–1769, 4 volumes; 6ª edição, 1800). Sua Geschichte der Mathematik (Göttingen, 1796–1800, 4 volumes) é uma obra monumental, faltando no entanto uma visõ geral sobre todos os ramos da matemática.
Além da matemática tornou-se conhecido pelo seu Sinngedichte, publicado inicialmente sem seu consentimento em 1781 em Gießen, pelo qual foi severamente criticado devido a seu humor negro e irônico sobre diversas personalidades.