Rozkład Pascala
Rozkład Pascala
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
|
Parametry
|
(liczba rzeczywista) (liczba rzeczywista)
Poniższe wzory dotyczą wariantu opisującego liczbę sukcesów przed porażką Inne parametryzacje opisują inne wzory.
|
Nośnik
|
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
|
Dystrybuanta
|
jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
|
Wartość oczekiwana (średnia)
|
|
Moda
|
|
Wariancja
|
|
Współczynnik skośności
|
|
Kurtoza
|
|
Entropia
|
|
Funkcja tworząca momenty
|
|
Funkcja charakterystyczna
|
|
Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.
Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje[1][2][3]. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia[3].
Wariant dla liczby sukcesów przed porażką
Rozważmy ciąg niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym Ustalmy liczbę Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia -tej porażki. Oznaczmy ten moment przez O zmiennej losowej mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami oraz
Niech ma rozkład NB(r,p). Wtedy (gdzie ) jeśli w -tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu zaszło porażek. Zatem
czyli
Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce do porażki włącznie. Niech Wtedy zmienna losowa zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami oraz Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie
W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.
Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru od momentu zajścia -tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową o następujący rozkładzie
Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu
Inne warianty
Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji[1][2][3]. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób sukcesów i porażek np. tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:
Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu.
zlicza:
|
Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
|
Wzór
|
sukcesów, przy danych porażkach
|
dla
|
[4][5]
|
(wariant opisany powyżej)
|
|
prób, przy danych porażkach
|
dla
|
|
|
porażek, przy danych sukcesach
|
dla
|
[2][6]
|
[7][8][9][10]
|
|
prób, przy danych sukcesach
|
dla
|
[2][10][11][12][13][14]
|
|
sukcesów, przy danych próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania)
|
dla
|
|
Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości z użyciem funkcji gamma, np.:
opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na -ty sukces będzie wynosił
Przypisy
- ↑ a b Gavin J.S.G.J.S. Ross Gavin J.S.G.J.S., Donald ArthurD.A. Preece Donald ArthurD.A., The Negative Binomial Distribution, „The Statistician”, 34 (3), 1985, s. 323, DOI: 10.2307/2987659, JSTOR: 2987659 [dostęp 2019-06-17] .
- ↑ a b c d John D.J.D. Cook John D.J.D., Notes on the Negative Binomial Distribution [online] .
- ↑ a b c SamuelS. Kotz SamuelS., Adrienne W.A.W. Kemp Adrienne W.A.W., Norman LloydN.L. Johnson Norman LloydN.L., Univariate discrete distributions, wyd. 2, New York: Wiley, 1992, s. 199–213, ISBN 0-471-54897-9, OCLC 25547480 [dostęp 2019-06-17] .
- ↑ Morris H.M.H. DeGroot Morris H.M.H., Mark J.M.J. Schervish Mark J.M.J., Probability and statistics, wyd. 4, Boston: Addison-Wesley, 2012, s. 297, ISBN 978-0-321-50046-5, OCLC 502674206 [dostęp 2019-06-17] .
- ↑ William H.W.H. Beyer William H.W.H., CRC standard mathematical tables, wyd. 28, Boca Raton, Florida: CRC Press, 1987, s. 533, ISBN 0-8493-0628-0, OCLC 16167842 [dostęp 2019-06-17] .
- ↑ Mathworks: Negative Binomial Distribution [online] .
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Negative Binomial Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2019-06-17] (ang.).
- ↑ SAS Institute, „Negative Binomial Distribution”, SAS(R) 9.4 Functions and CALL Routines: Reference, Fourth Edition, SAS Institute, Cary, NC, 2016.
- ↑ Michael J.M.J. Crawley Michael J.M.J., The R Book, Wiley, 2012, ISBN 978-1-118-44896-0 . Brak numerów stron w książce
- ↑ a b Set theory: Section 3.2.5 – Negative Binomial Distribution [online] .
- ↑ Randomservices.org, Chapter 10: Bernoulli Trials, Section 4: The Negative Binomial Distribution [online] .
- ↑ Stat Trek: Negative Binomial Distribution [online] .
- ↑ JacquelineJ. Wroughton JacquelineJ., Distinguishing Between Binomial, Hypergeometric and Negative Binomial Distributions [online] .
- ↑ Sheldon M.S.M. Ross Sheldon M.S.M., A first course in probability, wyd. 8, Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall, 2010, s. 157, ISBN 978-0-13-603313-4, OCLC 237199460 [dostęp 2019-06-17] .
Bibliografia
- William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159–160. ISBN 978-83-01-14684-9.
Rozkłady statystyczne Rozkłady ciągłe |
|
---|
Rozkłady dyskretne |
|
---|
|
|