Funkcja q {\displaystyle q} -wykładnicza – q {\displaystyle q} -analog funkcji wykładniczej.
Funkcję q {\displaystyle q} -wykładniczą lub q {\displaystyle q} -eksponentę e q ( z ) {\displaystyle e_{q}(z)} definiuje się jako
gdzie [ n ] q ! {\displaystyle [n]_{q}!} oznacza q {\displaystyle q} -silnię, a
to symbol q {\displaystyle q} -Pochhammera. To, że jest to q {\displaystyle q} -analog funkcji wykładniczej wynika z własności
gdzie pochodna po lewej oznacza q {\displaystyle q} -pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając q {\displaystyle q} -pochodną jednomianu:
Symbol [ n ] q {\displaystyle [n]_{q}} oznacza q {\displaystyle q} -nawias.
Dla rzeczywistych q > 1 {\displaystyle q>1} funkcja e q ( z ) {\displaystyle e_{q}(z)} jest funkcją całkowitą zmiennej z . {\displaystyle z.} Dla q < 1 {\displaystyle q<1} funkcja e q ( z ) {\displaystyle e_{q}(z)} jest regularna w kuli | z | < 1 1 − − --> q . {\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{1-q}}.}
Dla q < 1 {\displaystyle q<1} w bliskim związku z funkcją q {\displaystyle q} -wykładniczą jest funkcja E q ( t ) {\displaystyle E_{q}(t)} niespełniająca tożsamości
Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego: