Torens van HanoiDe Torens van Hanoi is een spel of puzzel met een aantal schijven. Het spel bestaat uit een plankje met daarop drie stokjes. Bij aanvang van het spel is op een van de stokjes een kegelvormige toren geplaatst van schijven met een gat in het midden. De schijven hebben verschillende diameters. Ze zijn zo geplaatst dat er geen grotere schijf op een kleinere schijf ligt. Het doel van het spel is om de complete toren van schijven te verplaatsen naar een ander stokje, waarbij de volgende regels in acht genomen dienen te worden:
Om praktische redenen heeft de toren meestal ongeveer acht schijven, omdat een spel met dit aantal binnen enkele minuten op te lossen is. Iedere extra schijf verdubbelt de minimale oplostijd. AnalyseHet is vrij gemakkelijk aan te tonen dat het probleem oplosbaar is, ongeacht het aantal schijven, en wel in zetten voor een toren met schijven. Het probleem is geliefd in programmeercursussen, omdat het zeer elegant op recursieve wijze op te lossen is. RecursieDe oplossing is recursief te beschrijven.
In pseudocode kan het bovenstaande procédé vertaald worden in een recursieve procedure. comment verplaats de n schijven van pin P naar pin R, met hulppin Q procedure Hanoi(n,P,Q,R) begin als n > 0 dan begin als n = 1 dan "plaats de schijf van P op R" anders begin Hanoi(n-1,P,R,Q) // toren van n-1 schijven naar hulppin Q Hanoi(1,P,Q,R) // laatste schijf van P naar R Hanoi(n-1,Q,P,R) // toren van de hulppin Q naar R end end end Hieraan is ook meteen te zien dat de oplossing voor 1 schijf minimaal 1 zet vergt, en dat een grotere toren kan worden opgelost in tweemaal het aantal zetten voor de toren met 1 schijf minder, plus 1.
Het aantal zetten is steeds één meer dan het dubbele aantal voor de vorige stapel. Voor een toren van schijven is het benodigde aantal zetten Handmatig oplossenLost men de puzzel met de hand op, dan wordt er gemakkelijk een fout gemaakt, waardoor het oplossen langer duurt. Er is echter een eenvoudige manier om het wel goed te doen. Eerste zet
Methode 1Doe om en om de volgende zetten, totdat de oplossing gevonden is:
Methode 2
OorsprongHet spel is uitgevonden door de Franse wiskundige Édouard Lucas in 1883. Er is een legende over een hindoe-tempel in de Indiase stad Benares onder keizer Fo Hi, waarvan de priesters, de brahmanen, zich bezighouden met het verplaatsen van een toren van 64 gouden schijven. De schijven liggen op drie naalden van diamant, een el lang en zo dik als het lichaam van een bij. Volgens de legende komt de wereld tot een einde als het werk af is. Het is niet duidelijk of Lucas deze legende bedacht heeft of er alleen door is geïnspireerd. Aannemend dat de priesters 1 schijf per seconde zouden verplaatsen, zou het 264 − 1, is ongeveer 1,84×1019 seconden duren de puzzel af te maken. Dit komt overeen met ruwweg 585 miljard jaar, ruwweg 43 maal zo lang als de geschatte leeftijd van het universum. Zie ookExterne links |