Pierce-expansie

De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal ${\displaystyle x}$ in het interval ${\displaystyle (0,1)}$ is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ waarvoor geldt:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots }$

met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.[1]

Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.

Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen ${\displaystyle (a_{i})}$ is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.

Als de expansie wordt afgebroken bij de ${\displaystyle n}$-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de ${\displaystyle (n+1)}$-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de ${\displaystyle n}$-de term.

De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal ${\displaystyle x.}$

Berekening

De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:[2]

• Stel ${\displaystyle u_{0}=x}$
• Bereken voor ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$:
  • ${\displaystyle a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor }$
  • ${\displaystyle u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}}$
• Stop zodra ${\displaystyle u_{k}=0}$

Daarrin is ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ de entier van ${\displaystyle a}$.

Voorbeeld

De Pierce-expansie van ${\displaystyle 0{,}37}$ geeft achtereenvolgens:

${\displaystyle u_{0}=0{,}37}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2}$

${\displaystyle u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26}$

${\displaystyle a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3}$

${\displaystyle u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22}$

${\displaystyle a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4}$

${\displaystyle u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12}$

${\displaystyle a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8}$

${\displaystyle u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04}$

${\displaystyle a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25}$

${\displaystyle u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0}$

De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:

${\displaystyle 0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}}$

Voorbeelden

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )}$ - rij A006283 in OEIS

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )}$ - rij A091831 in OEIS

${\displaystyle \ln(2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )}$ - rij A091846 in OEIS

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )}$ - rij A020725 in OEIS

De Pierce-expansie van ${\displaystyle 1/e}$ is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van

${\displaystyle 1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots )}$ - de natuurlijke getallen.

Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.

Lengte van de Pierce-expansie

Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal ${\displaystyle b/a,{\text{ met }}(b<a)}$ is de lengte van de expansie, genoteerd als ${\displaystyle P(a,b)}$. ${\displaystyle P(a)}$ is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen ${\displaystyle b/a}$ met ${\displaystyle b=1,\ldots ,a}$:[3]

${\displaystyle P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}}$

Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor ${\displaystyle P(a)}$.

Shallit[2] bewees dat ${\displaystyle 2{\sqrt {a}}}$ een bovengrens is van ${\displaystyle P(a)}$.

Paul Erdős en Shallit[4] gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:

${\displaystyle P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })}$

waarin ${\displaystyle \delta }$ een willekeurig klein positief reëel getal is.

Vlado Kešelj[3] leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:

${\displaystyle P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})}$

Voor de asymptotische ondergrens van ${\displaystyle P(a)}$ vond hij:

${\displaystyle P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)}$

Hierin is ${\displaystyle \log }$ de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote ${\displaystyle a}$ nog steeds een ruime overschatting is.

Zie ook

• Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.

Externe link

• Wolfram MathWorld: Pierce Expansion

Bronnen, noten en/of referenties

1. Pierce, T. A. "On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Polynomials." Amer. Math. Monthly 1929, vol. 36, blz. 523-525.
2. J. O. Shallit, "Metric theory of Pierce expansions." Fibonacci Quarterly, februari 1986, vol. 24 nr. 1, blz. 22-40
3. Vlado Keselj, "Length of Finite Pierce Series: Theoretical Analysis and Numerical Computations". Report CS-96-21, University of Waterloo, 10 september 1996
4. P. Erdös, J.O. Shallit. "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series." Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 1991, vol. 3 nr. 1, blz. 43-53. DOI:10.5802/jtnb.41