In 1980 won Oundjian de eerste prijs op het Internationaal Vioolconcours in Viña del Mar, Chili. Oundjian maakte carrière als eerste violist van het Tokyo String Quartet, welke functie hij voor 14 jaar bleef vervullen. Vanaf 1981 is hij adjunct docent viool aan de Yale School of Music.[1] Wegens lichamelijke klachten als het gevolg van RSI moest hij zijn vioolcarrière beëindigen.[2] Hij maakt toen de overstap naar orkestdirectie.
Oundjian werd benoemd tot chef-dirigent van het Toronto Symphony Orchestra (TSO) in januari 2003, en trad er in functie vanaf 2004. het orkest had financiële problemen voor Oundjians aanstelling, maar hij heeft bijgedragen aan een verbetering van de financiële situatie van het orkest sinds de start van zijn aanstelling[3]. In februari 2007 verlengde Oundjian zijn contract bij het TSO tot 2012[4][5].
Oundjian werd benoemd tot eerste gastdirigent en artistiek adviseur van het Detroit Symphony Orchestra, vanaf september 2006.[6]
Oundjian en zijn vrouw Nadine hebben twee kinderen. De Britse komiek Eric Idle is zijn neef (hun moeders zijn zussen). In juni 2007 dirigeerde Oundjian de wereldpremière van een oratorium geschreven door Idle en John DuPrez gebaseerd op de Monty Python-film Life of Brian, met de titel Not the Messiah (He's a Very Naughty Boy), gedurende het eerste Luminato Festival in Toronto, Canada.[7][8]