De operatornorm van een lineaire afbeelding van de genormeerde vectorruimten en kan op verschillende equivalente wijzen gedefinieerd worden. Voor :
In het triviale geval zijn de verzamelingen in de derde en vierde definitie leeg, en geven de eerste twee definities de waarde nul.
Als de uitkomst eindig is, wordt de operator begrensd genoemd. Dit is voor lineaire operatoren equivalent met continu zijn.
Een lineaire operator van en naar een eindigdimensionale vectorruimte wordt gerepresenteerd door een matrix. kan dan gelezen worden als vermenigvuldiging van een matrix en een vector. Deze operator is bij elk tweetal normen begrensd/continu.