Nabla

Nabla, of del, aangeduid door het symbool ${\displaystyle \nabla }$, is een differentiaaloperator in de vectorrekening. De naam is afkomstig van een Assyrische benaming van een harp, die ongeveer de vorm van het gebruikte symbool heeft.[1] Nabla wordt gebruikt als notatie voor de operatoren gradiënt, divergentie en rotatie.

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ met variabelen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ correspondeert met cartesische coördinaten nabla met de volgende vector van partiële afgeleiden:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}$

Er zijn regels om de werking van de nabla-operator in verschillende assenstelsels naar elkaar te converteren.[2]

Toepassingen

Nabla wordt onder andere gebruikt in de volgende definities:

• gradiënt:	${\displaystyle \operatorname {grad} \ f=\nabla f}$
• divergentie:	${\displaystyle \operatorname {div} \ \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} }$
• rotatie of rotor:	${\displaystyle \operatorname {rot} \ \mathbf {V} =\nabla \times \mathbf {V} }$
• laplace-operator:	${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)}$
• hessiaan:	${\displaystyle H_{f}=\nabla ^{2}f}$

De operand ${\displaystyle f}$ is hier een scalair veld, terwijl de operanden ${\displaystyle \mathbf {F} }$ en ${\displaystyle \mathbf {V} }$ vectorvelden zijn. Of met ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ de laplace-operator bedoeld wordt of de hessiaan is contextafhankelijk.

Voorbeeld

Zij ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ de functie gegeven door

${\displaystyle f(x,y,z)=xyz+x^{2}}$

Dan is de gradiënt van ${\displaystyle f}$ in cartesische coördinaten:

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(yz+2x,xz,xy)}$

Coördinaatonafhankelijke definitie

Het is mogelijk nabla te definiëren onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem. Daartoe generaliseert men de soortgelijke definitie van divergentie.

${\displaystyle \nabla \star F=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint \,\mathrm {d} S\star F}$

Hierin is ${\displaystyle F}$ een scalaire functie, een vector- of een tensorveld, en ${\displaystyle \star }$ het bijbehorende product.

Unicode

De nabla is opgenomen in Unicode als U+2207 ∇.

Voetnoten

1. A Neumaier. History of nabla, 19 januari 1998. discussie over de naam tussen James Clerk Maxwell en Peter Guthrie Tait
2. Zie Nabla in verschillende assenstelsels.