Imaginair deel

Fraktur I symbool

Een illustratie van het complexe vlak. Het imaginaire deel van het complexe getal ${\displaystyle z=x+iy}$ is ${\displaystyle y}$.

Van een complex getal ${\displaystyle z}$, weergegeven met de reële getallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ als ${\displaystyle z=x+iy}$, heet ${\displaystyle y}$ het imaginaire deel van ${\displaystyle z.}$ Wordt ${\displaystyle z}$ voorgesteld als het geordende paar ${\displaystyle z=(x,y)}$ dan is het tweede element van het paar het imaginaire deel van ${\displaystyle z.}$

Het imaginaire deel van ${\displaystyle z}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ of ook als ${\displaystyle \Im (z),}$ waarin ${\displaystyle \Im }$ de hoofdletter I in het lettertype Fraktur is.

Eigenschappen

De complexe functie die het complexe getal ${\displaystyle z}$ afbeeldt op zijn imaginaire deel, is niet holomorf.

Met behulp van de complex geconjugeerde ${\displaystyle {\bar {z}}}$ van ${\displaystyle z}$ kan het imaginaire deel van ${\displaystyle z}$ geschreven worden als

${\displaystyle \mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$.

Voor de polaire vorm

${\displaystyle z=r\,e^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\,\sin \varphi )}$

geldt

${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=r\,\sin \varphi }$.

Overige

• Het reële deel van een complex getal ${\displaystyle z=x+iy}$ is ${\displaystyle x}$.
• Een complex getal ${\displaystyle z=iy}$, waarvan het reële deel dus gelijk aan 0 is, heet een imaginair getal.