Rodríguez speelde in de jeugdopleiding van River Plate en maakte bij die club ook zijn debuut. Op 13 oktober 2014 speelde hij voor het eerst mee in het eerste elftal, toen door een doelpunt van Ramiro Funes Mori met 0–1 gewonnen werd van Newell's Old Boys. Rodríguez begon op de bank en van coach Marcelo Gallardo mocht hij na tweeënzeventig minuten invallen voor Leonardo Pisculichi.[1] In januari 2016 werd de Argentijn voor een halfjaar op huurbasis gestald bij Defensa y Justicia. Na deze periode nam Club Tijuana de middenvelder over voor circa 1,75 miljoen euro.[2] Bij die club zou Rodríguez maar één jaar spelen, want medio 2017 nam Club América hem over voor circa 6,3 miljoen euro. Hier werd hij herenigd met Miguel Herrera, die ook bij Club Tijuana zijn coach was.[3]
In januari 2020 maakte Rodríguez voor een bedrag van circa vier miljoen euro de overstap naar Real Betis, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vierenhalf jaar.[4] Gedurende deze vierenhalf jaar had hij overwegend een basisplaats, waarna hij transfervrij vertrok. Rodríguez tekende hierop een contract bij West Ham United.[5]
Rodríguez maakte op 9 juni 2017 zijn debuut in het Argentijns voetbalelftal, toen in een oefeninterland met 0–1 gewonnen werd van Brazilië door een doelpunt van Gabriel Mercado. Hij begon onder de debuterende bondscoach Jorge Sampaoli op de reservebank en mocht na negenenzestig minuten spelen invallen voor Paulo Dybala. De andere debutanten dit duel waren José Luis Gómez (Lanús), Joaquín Correa (Sevilla), Nicolás Tagliafico (Independiente) en Manuel Lanzini (West Ham United).[7] Rodríguez werd daarna niet meer opgeroepen tot maart 2019, waarna hij na twee oefeninterland mee mocht naar de Copa América 2019. In juni 2021 werd Rodríguez door bondscoach Lionel Scaloni opgenomen in diens selectie voor de Copa América 2021.[8] Op het toernooi scoorde hij op aangeven van Lionel Messi in de eerste groepswedstrijd tegen Uruguay, wat uiteindelijk het enige doelpunt bleek te zijn van de wedstrijd: 1–0.[9] Argentinië haalde uiteindelijk de finale waarin met 0–1 gewonnen werd van Brazilië. Rodríguez speelde in alle wedstrijden mee. Zijn toenmalige clubgenoten Claudio Bravo (Chili) en Emerson Royal (Brazilië) waren ook actief op het toernooi.
Scaloni ruimde in juni 2024 een plekje voor Rodríguez in bij zijn selectie voor de Copa América 2024.[12] In de groepsfase werd gewonnen van Canada (2–0), Chili (0–1) en Peru (2–0), waardoor de knock-outfase bereikt werd. Hierin werden achtereenvolgens Ecuador (1–1, 4–2 na strafschoppen) en Canada (2–0) verslagen. In de finale werd gespeeld tegen Colombia en in de verlenging won Argentinië met 1–0. Rodríguez speelde alleen tegen Peru mee. Zijn toenmalige clubgenoten Germán Pezzella (eveneens Argentinië), Claudio Bravo (Chili) en Johnny Cardoso (Verenigde Staten) waren ook actief op het toernooi.