Burrows werd ontdekt tijdens audities voor de vervanging van Christian Smith-Pancorvo, de originele drummer van Razorlight, die de band in 2004 verliet na het uitbrengen van het album. Sinds hij begon bij Razorlight, bracht de band twee albums uit: Razorlight en Slipway Fires. Zijn eerste optreden met Razorlight was bij LondonsBull and Gate op 25 mei 2004.
Burrows schreef verschillende nummers voor Razorlight, zoals de hit America. Ook heeft hij meegeholpen aan Before I Fall to Pieces, samen met Johnny Borrell. Op 5 maart2009 werd bekend dat hij de band verlaten had.
Burrows werd in 2009 lid van We Are Scientists. Daarnaast bracht hij eind 2012 het soloalbum Company uit, waarvan de single Hometown komt. In 2013 trad hij in Nederland solo op tijdens Pinkpop en in Utrecht op festival de Beschaving.
