Weil bevond zich in Finland toen de Tweede Wereldoorlog uitbrak; hij was op reis in Scandinavië sinds april 1939. Éveline was al eerder naar Frankrijk teruggekeerd. Weil werd bij het uitbreken van de Winteroorlog gearresteerd omdat de Finnen hem van spionage voor de Russen verdachten, maar het verhaal uit zijn autobiografie dat zijn leven in gevaar was (de Finnen zouden hem de volgende dag executeren) bleek overdreven.[1] Weil keerde via Zweden en het Verenigd Koninkrijk naar Frankrijk terug.
In januari 1940 werd hij in Le Havre gearresteerd. Hij werd ervan beschuldigd zich aan zijn militaire verplichtingen te hebben willen onttrekken. Hij werd vastgezet in de gevangenis van Le Havre en later in Rouen. Het was daar, in de militaire gevangenis in Bonne-Nouvelle, een deelgemeente van Rouen, waar hij van februari tot mei 1940 het werk schreef dat zijn reputatie vestigde. Op 3 mei 1940 werd hij berecht. Veroordeeld tot vijf jaar, vroeg hij om in plaats daarvan deel uit te mogen maken van een militaire eenheid. Dit verzoek werd toegestaan. Hij voegde zich als gewoon soldaat bij een regiment in Cherbourg. Na de val van Frankrijk ontmoette hij zijn ouders en zuster in Marseille, dat hij overzee wist te bereiken. Hij ging vervolgens naar Clermont-Ferrand, waar hij erin slaagde zich te verenigen met zijn vrouw Éveline, die zich in Duits-bezet Frankrijk had bevonden.
André Weil leverde substantiële bijdragen op tal van deelgebieden van de wiskunde, de belangrijkste waarvan zijn ontdekking van diepe verbindingen tussen de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie was. Dit begon met zijn promotie-werkzaamheden uit 1928, waarin hij de stelling van Mordell-Weil bewees (kort daarna reeds toegepast in de stelling van Siegels over integrale punten). De stelling van Mordell kende reeds een ad-hoc-bewijs; Weil begon met de splitsing van het oneindige afdalings argument in twee verschillende typen structurele aanpakken, door middel van hoogtefuncties voor de dimensionering van rationele punten en door middel van de Galois-cohomologie, die overigens pas twee decennia later deze naam kreeg. Beide aspecten hebben zich gestaag tot belangrijke theorieën ontwikkeld.
Onder zijn belangrijkste prestaties geldt zijn bewijs uit 1940, terwijl hij in de gevangenis zat, van de Riemann-hypothese voor lokale zèta-functies. Daaropvolgende legde hij het fundament voor de algebraïsche meetkunde om zo zijn resultaat uit 1940 te onderbouwen (het meest intensief van 1942 tot 1946). Volgens moderne normen werd Weils claim, dat hij over een bewijs beschikte, niet zeer diepgaand getoetst. Hierbij waren de oorlogsomstandigheden en het feit dat de Duitse deskundigen hierdoor weinig of geen commentaar gaven factoren. Deze zogenaamde vermoedens van Weil waren vanaf ongeveer 1950 enorm invloedrijk. De vermoedens werd later bewezen door Bernard Dwork, Alexander Grothendieck, Michael Artin en Pierre Deligne, die de moeilijkste stap in 1973 bewees.
André Weil introduceerde in de late jaren 1930 de adele-ring. Hij volgde hierbij het voorbeeld van Claude Chevalleyidèles. Met behulp van deze adeles gaf hij een alternatief bewijs van de stelling van Riemann-Roch (een versie van dit bewijs verscheen in zijn Basic Number Theory uit 1967). Zijn 'matrixdeler' (vectorbundelavant le jour) stelling van Riemann-Roch uit 1938 was een zeer vroege anticipatie van zijn latere ideeën, zoals moduliruimten van bundels. Het vermoeden van Weil over Tamagawa-getallen bleek vele jaren onbewijsbaar. Uiteindelijk werd de adelische benadering de basisbenadering in de theorie van de automorfe representaties. Hij pakte rond 1967 een ander gecrediteerd vermoeden van Weil op, dat later onder druk van de Serge Lang bekend werd als de vermoeden van Taniyama-Shimura, gebaseerd op de presentatie van de basisideeën op de Nikko conferentie uit 1955. Zijn houding ten opzichte van vermoedens maakte op vele andere wiskundigen een ondoorzichtige indruk; hij schreef dat men een gokje niet lichtvaardig als een vermoeden moest erkennen, en in het Shimura-Taniyama geval, dat het bewijs er alleen was na uitgebreide computerwerk dat in de late jaren 1960 werd uitgevoerd.
↑Osmo Pekonen, L'affaire Weil à Helsinki en 1939 (De zaak Weil in Helsinki in 1939), Gazette des mathématiciens 52 (april 1992), pag. 13-20. Met een nawoord van Andre Weil.