識別不能

識別不能（しきべつふのう）とは、二つの確率変数を見分けることができないことを意味する。ただ、これらを「見分けようとする人」がどのようにして見分けるのか、どれだけの能力を持っているかによって、見分けられるか・見分けられないかは異なる。そのため、想定する「見分けるために使う能力」により、三つの定義がある。

情報論的識別不能

${\displaystyle \{X_{k}\}_{k\in N},\{Y_{k}\}_{k\in N}}$を確率変数の族とする。

ある${\displaystyle k_{0}}$があって任意の${\displaystyle k>k_{0}}$に対し${\displaystyle X_{k}}$の従う確率分布と${\displaystyle Y_{k}}$の従う確率分布が同一である時、族${\displaystyle \{X_{k}\}_{k\in N}}$と${\displaystyle \{Y_{k}\}_{k\in N}}$は情報論的識別不能であるという。

二つの確率変数（の確率分布）が同一であれば、どんなに計算能力があろうとも見分けることができない。つまり、情報論的識別不能は、「どんなに計算能力があろうとも」見分けることができないことを意味する。

例：

• 確率変数${\displaystyle X_{k}}$ ：公正なコインを${\displaystyle k}$回ふる、という実験の結果。コインの表が出たら1、裏が出たら0、として、${\displaystyle k}$個の0,1列で表現する。
• 確率変数${\displaystyle Y_{k}}$ ：公正な2つのコインを${\displaystyle k}$回ふって、各回に同じ面が出るか、という実験の結果。2つのコインで同じ面が出たら1、異なる面が出たら0、として${\displaystyle k}$個の0,1列で表現する。

${\displaystyle X_{k}}$と${\displaystyle Y_{k}}$は異なる実験によって得られる確率変数であるが、共に、任意の${\displaystyle k}$ビット列が確率${\displaystyle 1/2^{k}}$で生じる。よって、${\displaystyle X=\{X_{k}\}_{k}}$と${\displaystyle Y=\{Y_{k}\}_{k}}$は情報論的識別不能である。

統計的識別不能

${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$を確率変数とする。 ${\displaystyle A}$と${\displaystyle B}$との統計的距離を${\displaystyle \sum _{x\in \{0,1\}^{k}}|Pr(A=x)-Pr(B=x)|}$　により定義する。 ${\displaystyle X_{k}}$と${\displaystyle Y_{k}}$との統計的距離が、${\displaystyle k}$に対して無視できるとき、 すなわち任意の多項式${\displaystyle P}$に対し、ある${\displaystyle k_{0}}$があって任意の${\displaystyle k>k_{0}}$に対し、${\displaystyle \sum _{x\in \{0,1\}^{k}}|Pr(X_{k}=x)-Pr(Y_{k}=x)|<1/P(k)}$となる時、族${\displaystyle \{X_{k}\}_{k\in N}}$と${\displaystyle \{Y_{k}\}_{k\in N}}$は統計的識別不能であるという。

二つの確率変数を見分けたい人が、いずれかの確率変数（の確率分布）によって選ばれた値を次々に観測し続けて、見分けることを考えよう。二つの確率分布が大きく異なる場合、観測値の頻度分布を求めることで、どちらの確率分布であるのかを見分けることができるだろう。逆に、確率分布がほとんど同じ場合、多くの値を観測したとしても見分けはつきにくい。統計的識別不可能は、多項式個の値を観測しても見分けがつかないことを意味する。

例：

• 確率変数${\displaystyle X_{k}}$ ：公正なコインを${\displaystyle k}$回ふる、という実験の結果。コインの表が出たら1、裏が出たら0、として、${\displaystyle k}$個の0,1列で表現する。
• 確率変数${\displaystyle Z_{k}}$ ：${\displaystyle X_{k}}$と同じ実験をするが、${\displaystyle k}$回続けて裏が出たら、最初からやり直すという実験の結果。

${\displaystyle Z_{k}}$では、0が${\displaystyle k}$個並んだものは生じず（${\displaystyle Pr[Z_{k}=0000...0]=0}$）、それ以外の${\displaystyle k}$ビット列が確率${\displaystyle 1/(2^{k}-1)}$で生じる。よって、${\displaystyle X_{k}}$と${\displaystyle Y_{k}}$の統計的距離は${\displaystyle (2^{k}-1)\times |1/2^{k}-1/(2^{k}-1)|+|1/2^{k}-0|=1/2^{k-1}}$である。 よって、${\displaystyle X=\{X_{k}\}_{k}}$と${\displaystyle Z=\{Z_{k}\}_{k}}$は統計的識別不能である。

計算量的識別不能

任意の多項式時間機械${\displaystyle D}$ （識別機(distinguisher)という）と任意の多項式${\displaystyle P}$に対し、ある${\displaystyle k_{0}}$があって任意の${\displaystyle k>k_{0}}$に対し ${\displaystyle |Pr(D(X_{k})=1)-Pr(D(Y_{k})=1)|<1/P(k)}$となる時、${\displaystyle \{X_{k}\}_{k\in N}}$と${\displaystyle \{Y_{k}\}_{k\in N}}$は計算量的識別不能であるという。

定義からわかるように、計算量的識別不能は、計算能力を多項式時間に限定した場合に、見分けることができないことを意味する。

例： 暗号理論の分野では、多くの計算量的識別不能を仮定している。例として以下のものがある．

• 平方剰余と平方非剰余
• ディフィー・ヘルマン鍵共有の鍵と乱数

関連項目

• 暗号理論