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代数学において，線型リー環（せんけいリーかん，英: linear Lie algebra）とは，ベクトル空間 $V$ の自己準同型全体からなるリー環 ${\mathfrak {gl}}(V)$ の部分リー環である^[要出典]．言い換えると，線型リー環はリー環の表現の像である．

任意のリー環は，その忠実表現が必ず存在するという意味で，線型リー環である．（実は，リー環自身が有限次元であるときには，アドの定理（英語版）によって，有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ．）

$V$ を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし， ${\mathfrak {g}}$ を ${\mathfrak {gl}}(V)$ の部分環とする．このとき $V$ が ${\mathfrak {g}}$ 上の加群として半単純であることと，(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり，(ii) 中心の元が（ある拡大体上）対角化可能であることと同値である^[1]．

脚注

^ Jacobson 1962, Ch III, Theorem 10

参考文献

Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

[1] Jacobson 1962, Ch III, Theorem 10

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