総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a₁, a₂, …, a_n の総乗を

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}$

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x_i)_i∈I 」とすることができる。この列の総乗を

${\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}$

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1_M を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1_M であるとする。（空積も参照）

${\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}$

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

• ${\displaystyle p_{1}=a_{1},}$
• ${\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}$

このとき、${\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}$ と書くことにすると、

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ の総乗

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数や複素数からなる可算列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ の無限乗積を定義する。無限乗積 ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとは2条件

• ある番号 m から先では常に x_n ≠ 0 (n > m)[1]
• 部分積 p_n := x_m+1 … x_n (n > m) がゼロでない値 P_m に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとき、その値を

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}$

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成り立つ[4]。

また数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ に対して無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )}$ が収束するとき、無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ は絶対収束するという[5][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ が絶対収束するのは無限級数 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が絶対収束するとき、かつそのときに限る[6][3]。

例

三角関数の無限乗積展開[3]

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

${\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

ウォリス積[7][8]

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}$

オイラー乗積

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

ガンマ関数[3][9][10]

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}$

(${\displaystyle \gamma }$はオイラーの定数である)[3][9]。

qポッホハマー記号 [11][12][13]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}$

qガンマ関数[12][13][14]

${\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}$

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる[15]。

注

1. つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
2. Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
3. ^ 神保道夫、複素関数入門、岩波書店。
4. Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
5. Konrad 1956, p. 96.
6. Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.
7. Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
8. A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
9. ^ 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
10. Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
11. Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
12. ^ Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
13. ^ Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
14. Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
15. Salem, A. (2012). On a ${\displaystyle q}$-gamma and a ${\displaystyle q}$-beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.

参考文献

• Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ 

関連項目

• 総和
• 因数定理
• 階乗
• 超階乗