有効ポテンシャル (英語 : effective potential)または有効ポテンシャル・エネルギー (有効位置エネルギー 、effective potential energy)は、(相反する可能性のある)複数の効果を単一のポテンシャルにまとめたものである。基本的には、力学系の位置エネルギーと遠心力による位置エネルギーとの和である。
惑星軌道の古典論的・ニュートン的決定 や半古典的な原子計算 に用いられ、複雑な系の問題をより低次にできる場合がある。
定義
有効ポテンシャルのグラフ。E > 0::双曲線軌道 (周辺中心として A1 )、E = 0::放物線軌道 (周辺中心として A2 )、E < 0:楕円軌道 (周辺中心として A 3 、中心として A 3 ')、E = E min :円軌道 (半径としてA 4 )。 点A 1 , ..., A 4 はturning pointと呼ばれる。
ポテンシャル
U
eff
{\displaystyle U_{\text{eff}}}
の基本形は以下の様に定義される。
U
eff
(
r
)
=
L
2
2
μ
r
2
+
U
(
r
)
,
{\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}
ここで、
L は、角運動量
r は、二質量間の距離
μ は、二物体の換算質量 (一方の質量が他方の質量よりはるかに大きい場合、周回する天体の質量にほぼ等しくなる)
U (r ) は、ポテンシャル の一般形
である。よって、有効力(effective force)は、有効ポテンシャルの負の勾配である。
F
eff
=
−
∇
U
eff
(
r
)
=
L
2
μ
r
3
r
^
−
∇
U
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
ここで
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
は半径方向の単位ベクトルを表す。
重要な性質
有効ポテンシャルには有用な機能が多くある。たとえば、
U
eff
≤
E
.
{\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}
である。円軌道の半径を求めるには、実効ポテンシャルを
r
{\displaystyle r}
に対して最小化する、あるいは正味の力をゼロにして、
r
0
{\displaystyle r_{0}}
を解くだけでよい。
d
U
eff
d
r
=
0
{\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}
r
0
{\displaystyle r_{0}}
を解いた後、これを
U
eff
{\displaystyle U_{\text{eff}}}
に差し戻すと、有効ポテンシャルの最大値
U
eff
max
{\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}
が求まる。円軌道は安定か不安定かのどちらかである。不安定な場合は、小さな摂動で軌道が不安定になるが、安定な軌道は平衡に戻る。円軌道の安定性を判断するには、有効ポテンシャルの凹みを判断する。凹みが正であれば、その軌道は安定である。
d
2
U
eff
d
r
2
>
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0}
小さな振動の周波数は、基本的なハミルトン解析を用いると、
ω
=
U
eff
″
m
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}
ここで、二重プライムは有効ポテンシャルの二階微分を表し、その値は
r
{\displaystyle r}
に関する有効ポテンシャルの二階微分を表し、最小値で評価される。
重力ポテンシャル
回転する2つの天体の有効ポテンシャルの成分:(上)重力ポテンシャルの合成、(下)重力と回転の合成ポテンシャル
質量mの粒子が質量Mのもっと重い物体の周りを回っていると考える。古典力学、非相対論的ニュートン力学を仮定する。エネルギーと角運動量の保存は、2つの定数 E と L を与え、その値は、
Visualisation of the effective potential in a plane containing the orbit (grey rubber-sheet model with purple contours of equal potential), the Lagrangian points (red) and a planet (blue) orbiting a star (yellow)
E
=
1
2
m
(
r
˙
2
+
r
2
ϕ
˙
2
)
−
G
m
M
r
,
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}
L
=
m
r
2
ϕ
˙
{\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}}
であり、大きい方の物体の質量の運動が無視できる場合である。ここで、
r
˙
{\displaystyle {\dot {r}}}
は、r の時間微分、
ϕ
˙
{\displaystyle {\dot {\phi }}}
は、m の角速度、
G は重力定数、
E は全エネルギー、
L は角運動量
である。この運動は平面上で起こるので、必要な変数は2つだけである。2番目の式を1番目の式に代入し、並べ替えると次のようになる。
m
r
˙
2
=
2
E
−
L
2
m
r
2
+
2
G
m
M
r
=
2
E
−
1
r
2
(
L
2
m
−
2
G
m
M
r
)
,
{\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}
1
2
m
r
˙
2
=
E
−
U
eff
(
r
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}
ここで、
U
eff
(
r
)
=
L
2
2
m
r
2
−
G
m
M
r
{\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}
が有効ポテンシャルである[ Note 1] 。元の2変数問題は、1変数問題に還元された。例えば、有効ポテンシャルを用いたエネルギー線図から、転回点、安定・不安定平衡 の位置などを求めることができます。同様の方法は、例えば一般相対論的なシュワルツシルト計量 における軌道の決定など、他の用途でも使われることがある。
有効ポテンシャルは、Gauss-core potential (Likos 2002, Baeurle 2004) や Screened Coulomb potential (Likos 2001) など、様々な物性分野で広く用いられている。
脚注
^ A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach , pgs. 31–33
関連項目
参考文献
José, JV; Saletan, EJ (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach (1st ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0 .
Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M. ; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F. (2002). “Gaussian effective interaction between flexible dendrimers of fourth generation: a theoretical and experimental study” . J. Chem. Phys. 117 (4): 1869–1877. Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi :10.1063/1.1486209 . オリジナル の2011-07-19時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20110719010918/http://jcp.aip.org/jcpsa6/v117/i4/p1869_s1?isAuthorized=no .
Baeurle, S.A.; Kroener J. (2004). “Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential”. J. Math. Chem. 36 (4): 409–421. doi :10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb .
Likos, C.N. (2001). “Effective interactions in soft condensed matter physics”. Physics Reports 348 (4–5): 267–439. Bibcode : 2001PhR...348..267L . doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1 .