最大絶対値の原理

最大絶対値の原理あるいは最大値の原理（英: maximum modulus principle）は、複素解析における正則関数の性質に関する基本的な定理である。複素関数が正則であるために満たすべき、強い制約条件の１つを示している。

定理

複素関数 f(z) が(開)領域 D で正則で、しかも定数でないなら、D で |f(z)| が最大値を取ることはない。

証明

背理法による。 D 内のある点 z₀ で |f(z)| が最大値を取るものと仮定する。r を正の実数とし、D_r = {z : | z − z₀ | < r } 、 C_r = {z : | z − z₀ | = r } とする。つまり C_r は z₀ を中心とする半径 r の円、D_r はその内側の領域である。r の値を適当に小さく選べば、 D_r + C_r ⊂ D とできる。

コーシーの積分公式により D_r 内の任意の点 z で、

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta }$

が成り立つ。 C_r 上での |f(z)| の最大値を M とすれば、

${\displaystyle \left|f(z_{0})\right|=\left|{\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})}}d\zeta \right|}$

${\displaystyle \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{r}}\,rd\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(\zeta )\right|d\theta \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Md\theta =M}$

仮定により M ≤ |f(z₀)| であるから、結局

${\displaystyle \left|f(z_{0})\right|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(\zeta )\right|d\theta =M}$

が成立つ。すなわち、C_r 上の任意の点 ζ で |f(z₀)| = |f(ζ)| が成立つことになる。r を任意に小さくして考えても、同じ論法が成立つので、 D_r + C_r の任意の点 z で |f(z₀)| = |f(z)| が成立つことになる。 |f(z₀)| = 0 であれば、 f(z) は D_r で恒等的に 0 である。 |f(z₀)| が 0 でなければ D_r 内の任意の点で |f(z)| も 0 でないから

${\displaystyle h(z)=\log f(z)=\log |f(z)|+i\arg f(z)}$

を考えることができる。D_r に含まれるある領域 V を適当に選ぶと、V 内で h(z) を一価正則にできる。

V 内で |f(z)| は定数であるから h(z) の実部 log |f(z)| も定数である。このためコーシー・リーマンの関係式から V 内で

${\displaystyle {\frac {dh(z)}{dz}}=0}$

となり、h(z) の虚部 arg f (z) も V 内で定数となる。従って V 内で f(z) は定数である。一致の定理によって、結局 D 全体で f(z) は定数となり、定理の仮定に反する。

関連項目

• 複素解析
• 正則関数
• 一致の定理

参考文献

• 遠木幸成・阪井章『関数論』学術図書出版社、1966年