単偶数

単偶数（たんぐうすう、（英: singly even number）または半偶数（はんぐうすう）とは、4の倍数でない偶数である。すなわち単偶数は、2の倍数だが4の倍数ではない整数である。

単偶数（半偶数）に対して、4の倍数を複偶数（全偶数）という。

概説

単偶数は、 4n ± 2（n は整数）の形をしている。小さい順から十進表記で、6, 10, 14, 18, 22, 26, 30…と続く。

十進法では、−82, −38, 6, 10, 22, 54, 90, 138 などが単偶数で、−40, −16, 8, 12, 28, 64, 120 などが複偶数である。二進法では、下二桁が 00 になっていれば複偶数である。

位取りの底が複偶数であれば、一の位がどの数かで単偶数か複偶数かを判別できる。例えば、十二進法では 2, 6, A が、二十進法では 2, 6, A, E, I が一の位に来ていれば、その数は単偶数である。対して、十二進法では 0, 4, 8 が、二十進法では 0, 4, 8, C, G が一の位に来ていれば、その数は複偶数である。

複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64…などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44…などの「素因数分解すると"2^p×奇数"で、pが2以上の数」となる。

性質

底に依存しない性質

以下、n は正の整数（自然数）であるとする。

• 単偶数は多冪数でない。また単偶数は2つの平方数の差で表すことはできない。しかし、2つの多冪数の差で表すことはできる[1]。
• 単偶数同士の和・差・積は4の倍数である[注 1]。例：14 + 6 = 20, 14 − 6 = 8, 14 × 6 = 84
• 三角数のうち単偶数であるのは 8n − 5 番目と 8n − 4 番目の三角数のみである。
• フィボナッチ数のうち単偶数であるのは 6n − 3 番目のフィボナッチ数のみである。
• 完全数かつ単偶数であるのは 6 のみである。

単偶数進数での性質

• 底が単偶数のN進法では、2^-nは小数点以下 n 桁の有限小数になる。例えば、1/4（= 2^-2）は小数点以下二桁、1/8（= 2^-3）は小数点以下三桁の有限小数になる。
• 「100÷4」の二桁整数abの冪数は、下二桁もabとなる。同じく、「100×3/4」の二桁整数cbの冪数は、下二桁が「100×3/4」と「100÷4」の二桁整数が交互に循環し、 cb→ab→cbの循環になる。
  • 例：十進法だと、25→625→15625…、75→5625→421875→31640625… の循環となる。
  • 例：六進法だと、13→213→3213…、43→3213→231043→15220213… の循環となる。
  • 例：十八進法だと、49→1249→51249…、D9→A249→7AC6D9→5C951249… の循環となる。
• 「(100×3/4)+1」の二桁整数deの冪数は、下二桁が常にdeとなる。同じく、「(100÷4)-1」の二桁整数fgの冪数は、下二桁が「(100÷4)-1」と「(100×3/4)+1」の二桁整数が交互に循環し、 fg→de→fgの循環になる。
  • 例：十進法だと、76→5776→438976…、24→576→13824→331776… の循環となる。
  • 例：六進法だと、44→3344→245344…、12→144→2212→30544… の循環となる。

底に依存する性質

• 十進法では、全ての単偶数の下二桁は、

02, 06, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98

の 25₁₀ 通り（= 5^2）のいずれかである。

• 六進法では、全ての単偶数の下二桁は、

02, 10, 14, 22, 30, 34, 42, 50, 54

の 9 通り（= 13₆ 通り = 3^2）のいずれかである。

• 十八進法では、全ての単偶数の下二桁は、

02, 06, 0A, 0E, 10, 14, 18, 1C, 1G, 22, 26 … GA, GE, H0, H4, H8, HC, HG

の81₁₀ 通り（= 49₁₈ 通り = 9^2 = 3^4）になる。

• 十二進法や二十進法は、底が複偶数で奇数の4倍であるため、1/8周である45₁₀（39₁₂ , 25₂₀）の倍数は、一の位が0になるのは半周である180₁₀（130₁₂ , 90₂₀）の倍数のみとなる。
  • 1/4周である90₁₀の倍数のうち、単偶数は76₁₂ , 4A₂₀（いずれも90₁₀）、1A6₁₂ , DA₂₀（いずれも270₁₀）というように一の位には底の1/2になる偶数が現れる。
  • 45₁₀の倍数で、奇数はB3₁₂ , 6F₂₀（いずれも135₁₀）、169₁₂ , B5₂₀（いずれも225₁₀）、223₁₂ , FF₂₀（いずれも315₁₀）というように、一の位には底の1/4か3/4になる奇数が現れる。
  • 一の位が0になる例として、1周である360₁₀（260₁₂ , I0₂₀）、1周半である540₁₀（390₁₂ , 170₂₀）、2周である720₁₀（500₁₂ , 1G0₂₀）、2周半の900₁₀（630₁₂ , 250₂₀）、3周の1080₁₀（760₁₂ , 2E0₂₀）、3周半の1260₁₀（890₁₂ , 330₂₀）などが該当する。

脚注

注釈

1. ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ に対し、${\displaystyle (4n+2)+(4m+2)=4(n+m+1),(4n+2)-(4m+2)=4(n-m),(4n+2)\times (4m+2)=4(4nm+2n+2m+1).}$

出典

1. McDaniel, Wayne L. (1982). “Representations of every integer as the difference of powerful numbers”. Fibonacci Quarterly 20: 85–87. 

関連項目

• 偶数
• 奇数
• 1/2
• 1/4
• 複偶数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Singly Even Number". mathworld.wolfram.com (英語).