数学 において，被約抽象ルート系 と半単純リー環 の間には1対1の対応がある．ここで半単純リー環のルート系 の構成，そして逆に，被約抽象ルート系からの半単純リー環の構成，が示される．
g 半単純リー環 とする．さらに h g カルタン部分環 とする．このとき h g 随伴表現 において同時対角化可能 な線型写像 として作用する．h *λ g λ g
g
λ
:=
{
X
∈
g
:
[
H
,
X
]
=
λ
(
H
)
X
for all
H
∈
h
}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\lambda (H)X{\text{ for all }}H\in {\mathfrak {h}}\}}
で定義する．h *λ g λ g λ λ のルート空間と呼ばれる．カルタン部分環 の定義により g 0 = h g λ R をすべてのルートの集合とする．h
g
=
h
⊕
⨁
λ
∈
R
g
λ
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in R}{\mathfrak {g}}_{\lambda }.}
カルタン部分環 h g キリング形式 から内積 を引き継ぐ．これは h *R は被約抽象ルート系であることを示すことができる．
E ユークリッド空間 とし，R E の被約抽象ルート系とする．さらに Δ を単純ルート たちのある選択とする．次の生成元と関係式で複素リー環を定義する．生成元：
H
λ
,
X
λ
,
Y
λ
for
λ
∈
Δ
,
{\displaystyle H_{\lambda },X_{\lambda },Y_{\lambda }{\text{ for }}\lambda \in \Delta ,}
シュバレー・セール関係式 （英語版 ）
[
H
λ
,
H
μ
]
=
0
for all
λ
,
μ
∈
Δ
,
[
H
λ
,
X
μ
]
=
(
λ
,
μ
)
X
μ
,
[
H
λ
,
Y
μ
]
=
−
(
λ
,
μ
)
Y
μ
,
[
X
μ
,
Y
λ
]
=
δ
μ
λ
H
μ
,
a
d
X
λ
−
(
μ
,
λ
)
+
1
X
μ
=
0
for
λ
≠
μ
,
a
d
Y
λ
−
(
μ
,
λ
)
+
1
Y
μ
=
0
for
λ
≠
μ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}[][H_{\lambda },H_{\mu }]&=0{\text{ for all }}\lambda ,\mu \in \Delta ,\\\left[H_{\lambda },X_{\mu }\right]&=(\lambda ,\mu )X_{\mu },\\\left[H_{\lambda },Y_{\mu }\right]&=-(\lambda ,\mu )Y_{\mu },\\\left[X_{\mu },Y_{\lambda }\right]&=\delta _{\mu \lambda }H_{\mu },\\\mathrm {ad} _{X_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}X_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu ,\\\mathrm {ad} _{Y_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}Y_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu .\end{aligned}}}
（ここで (λ , μ ) で表されている係数はカルタン行列 の係数で置き換えられなけるべきである．）生成されるリー環は半単純でありそのルート系は与えられた R に同型であることが分かる．
同型 により，半単純リー環 の分類は被約抽象ルート系を分類するいくぶん簡単な仕事に帰着される．
この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植 のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath 』の項目Root system underlying a semi-simple Lie algebra の本文を含む
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer V.S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations , GTM, Springer 1984.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Coxeter group” , Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coxeter_group Weisstein, Eric W. "Coxeter group" . mathworld.wolfram.com (英語). Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators , http://www.jenn3d.org/index.html Popov, V.L. ; Fedenko, A.S. (2001), “Weyl group” , Encyclopaedia of Mathematics , SpringerLink, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lie_algebra,_semi-simple
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\lambda (H)X{\text{ for all }}H\in {\mathfrak {h}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0abde3c585e013d0d757165a3fa3ae3745d4c26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][H_{\lambda },H_{\mu }]&=0{\text{ for all }}\lambda ,\mu \in \Delta ,\\\left[H_{\lambda },X_{\mu }\right]&=(\lambda ,\mu )X_{\mu },\\\left[H_{\lambda },Y_{\mu }\right]&=-(\lambda ,\mu )Y_{\mu },\\\left[X_{\mu },Y_{\lambda }\right]&=\delta _{\mu \lambda }H_{\mu },\\\mathrm {ad} _{X_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}X_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu ,\\\mathrm {ad} _{Y_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}Y_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfb0f5c5562a1df56437426065c11e10e905bb0)