単一の指数関数（青い曲線）と比較した二重指数関数（赤い曲線）。 二重指数関数 （にじゅうしすうかんすう、英 : double exponential function ）とは、指数関数 の肩に指数関数を持つ関数 である。一般形は
f
(
x
)
=
a
b
x
=
a
(
b
x
)
{\displaystyle f(x)=a^{b^{x}}=a^{(b^{x})}}
二重指数関数型積分公式 など、応用上はネイピア数 を底に取ったものがよく使われる。
指数の底が a > 1, b > 1階乗 より急速に増大する。階乗は通常の（一重の）指数関数よりも速く増大するため、充分大きい x について以下の関係が成り立つ（e
e
x
<
x
!
<
e
e
x
{\displaystyle e^{x}<x!<e^{e^{x}}}
二重指数関数に比べて速く増大する関数として、例えばテトレーション とアッカーマン関数 がよく知られている（その他さまざまな関数の増加率については例えばランダウの記号 を参照のこと）。
二重指数関数
a
b
x
{\displaystyle a^{b^{x}}}
逆関数 は、二重対数
log
b
(
log
a
x
)
{\displaystyle \log _{b}(\log _{a}x)}
正の整数 （または実数 ）の数列 で、数列のn番目の項を与える関数がnの二重指数関数で上下を押さえられるものを、二重指数関数的に成長する数列という。
F
(
m
)
=
2
2
m
+
1
{\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1}
調和素数：1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1 / pが0、1、2、3、..を超える素数p 0で始まる最初のいくつかの番号は、2、5、277、5195977、...（A016088 ）である。
二重メルセンヌ数
M
M
(
p
)
=
2
2
p
−
1
−
1
{\displaystyle MM(p)=2^{2^{p-1}}-1}
s
n
=
⌊
E
2
n
+
1
+
1
2
⌋
{\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }
なお、E ≈ 1.264084735305302 はヴァルディの定数 （A076393 ）である
2
2
k
{\displaystyle 2^{2^{k}}}
a
(
n
)
=
⌊
A
3
n
⌋
{\displaystyle a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }
なお、A ≈ 1.306377883863はミルズの定数 である。 アルフレッド・エイホ とニール・スローン は、いくつかの重要な整数列 で、各項が定数に前の項の2乗を加えたものであることを観察した。それらは、そのような数列が、中間の指数2を持つ二重指数関数の値を最も近い整数に丸めることによって形成できることを示している[ 1] [ 2]
微分
d
d
x
e
e
x
=
e
x
+
e
x
{\displaystyle {d \over dx}e^{e^{x}}=e^{x+e^{x}}}
積分
積分定数は省略する。
∫
e
e
x
d
x
=
Ei
(
e
x
)
{\displaystyle \int e^{e^{x}}dx=\operatorname {Ei} (e^{x})}
ただし、ここで
Ei
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}
指数積分 である。
自然二重指数関数
e
e
x
{\displaystyle e^{e^{x}}}
ベル数
B
n
{\displaystyle B_{n}}
指数型母関数
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
=
e
e
x
−
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}}
により
e
e
x
=
e
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
{\displaystyle e^{e^{x}}=e\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}
とマクローリン展開される。
計算複雑性理論 では、以下に示すようなアルゴリズムにおいて二重指数関数時間を要する。
アルゴリズムの設計と解析における他の問題では、二重指数数列は解析ではなくアルゴリズム設計の中で使用される。例えば、凸包 を計算するチャンのアルゴリズム （英語版 ） h i 2i O (n log h i i O (n log h )h [ 6]
数論的 な上限 は二重指数関数的になるものもある。たとえば、n 24n となる（ヤコブ・ニールセン（数学者） （英語版 ） [ 7] k ≥1d -超多面体 の体積は最大で (8d )d d ･22d +1 になる（Pikhurko）[ 8]
情報化時代 に知られている最大の素数 の桁数は、1951年にMillerとWheelerがEDSAC1 で79桁の素数を発見して以来、年に対する二重指数関数として近似的に成長している[ 9]
人口統計学 では、人口増加は二重指数関数的であるとされることがある。VarfolomeyevとGurevichが実験的に検証したところ[ 10] N (y )
N
(
y
)
=
375.6
⋅
1.00185
1.00737
y
−
1000
{\displaystyle N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}\,}
であった。
戸田発振器 （英語版 ） 対数 が時間に対して指数関数的に変化するため、振幅は時間の二重指数関数として変化する[ 11]
また、樹状高分子は二重指数関数的に成長することが観察されている[ 12]
^ Aho, A. V. ; Sloane, N. J. A. (1973), “Some doubly exponential sequences” , Fibonacci Quarterly 11 : 429–437, http://neilsloane.com/doc/doubly.html ^ Ionaşcu, Eugen-Julien; Stănică, Pantelimon (2004), “Effective asymptotics for some nonlinear recurrences and almost doubly-exponential sequences” , Acta Mathematica Universitatis Comenianae LXXIII (1): 75–87, http://faculty.nps.edu/pstanica/research/AMUC04.pdf ^ Kapur, Deepak; Narendran, Paliath (1992), “Double-exponential complexity of computing a complete set of AC-unifiers” , Proc. 7th IEEE Symp. Logic in Computer Science (LICS 1992) , pp. 11–21, doi :10.1109/LICS.1992.185515 , ISBN 0-8186-2735-2 , http://citeseer.ist.psu.edu/337363.html ^ Johannsen, Jan; Lange, Martin (2003), “CTL+ is complete for double exponential time” , in Baeten, Jos C. M.; Lenstra, Jan Karel ; Parrow, Joachim et al., Proceedings of the 30th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP 2003) , Lecture Notes in Computer Science, 2719 , Springer-Verlag, pp. 767–775, doi :10.1007/3-540-45061-0_60 , ISBN 978-3-540-40493-4 , オリジナル の2007-09-30時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20070930220755/http://www.tcs.informatik.uni-muenchen.de/~mlange/papers/icalp03.pdf 2006年12月22日 閲覧。 ^ Gruber, Hermann; Holzer, Markus (2008). "Finite Automata, Digraph Connectivity, and Regular Expression Size" (PDF) . Proceedings of the 35th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP 2008) . the 35th International Colloquium on Automata, Languages and Programming. Vol. 5126. pp. 39–50. doi :10.1007/978-3-540-70583-3_4 。 ^ Chan, T. M. (1996), “Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions”, Discrete and Computational Geometry 16 (4): 361–368, doi :10.1007/BF02712873 , MR 1414961 ^ Nielsen, Pace P. (2003), “An upper bound for odd perfect numbers” , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 3 : A14, http://www.integers-ejcnt.org/vol3.html ^ Pikhurko, Oleg (2001), “Lattice points in lattice polytopes”, Mathematika 48 : 15–24, arXiv :math/0008028 , Bibcode : 2000math......8028P , doi :10.1112/s0025579300014339 ^ Miller, J. C. P.; Wheeler, D. J. (1951), “Large prime numbers”, Nature 168 (4280): 838, Bibcode : 1951Natur.168..838M , doi :10.1038/168838b0 ^ Varfolomeyev, S. D.; Gurevich, K. G. (2001), “The hyperexponential growth of the human population on a macrohistorical scale”, Journal of Theoretical Biology 212 (3): 367–372, doi :10.1006/jtbi.2001.2384 , PMID 11829357 ^ Kouznetsov, D.; Bisson, J.-F.; Li, J.; Ueda, K. (2007), “Self-pulsing laser as oscillator Toda: Approximation through elementary functions” , Journal of Physics A 40 (9): 1–18, Bibcode : 2007JPhA...40.2107K , doi :10.1088/1751-8113/40/9/016 , http://www.iop.org/EJ/abstract/-search=15823442.1/1751-8121/40/9/016 ^ Kawaguchi, Tohru; Walker, Kathleen L.; Wilkins, Charles L.; Moore, Jeffrey S. (1995). “Double Exponential Dendrimer Growth”. Journal of the American Chemical Society 117 (8): 2159–2165. doi :10.1021/ja00113a005 .
