ヤコビの二平方定理 (Jacobi's two square theorem) は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は
で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。
具体例
例えば、
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
証明
テータ関数の比は楕円関数(二重周期を持つ有理型関数)になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、
とは共に楕円関数である。且つ、
であるから、となるところにおいて悉くとなり、リウヴィルの定理によっては定数である。として
により、を得る。従って、
である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、を代入し、と書くと
となり、ヤコビの三重積の公式により
となる。一方、
であるから
であり、テータ関数の対数微分の公式により
である。以上により、
が得られ、の係数を比較することにより、
が得られる。
関連記事
出典
- ^ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers