数学において、マース形式 (Maass form)、もしくは、マース波動形式 (Maass wave form) とは、上半平面 上の関数であって、モジュラー形式 のように変換するが、正則 とは限らないものをいう。マース形式は、最初に Maass (1949) においてハンス・マース （英語版 ）
k を半整数 、s を複素数、ΓをSL2 (R ) （英語版 ） 離散部分群 とする。Γのウェイト k , ラプラス固有値 s のマース形式 (Maass form) とは、上半平面 から複素平面への滑らか な関数であって以下の条件を満たすものである：
すべての
γ
=
(
a
b
c
d
)
∈
Γ
{\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }
τ
∈
H
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }
f
(
a
τ
+
b
c
τ
+
d
)
=
(
c
τ
+
d
)
k
f
(
τ
)
{\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}
Δ
k
f
=
s
f
{\displaystyle \Delta _{k}f=sf}
Δ
k
{\displaystyle \Delta _{k}}
Δ
k
=
−
y
2
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
)
+
i
k
y
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
{\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
で定義されたウェイト k の双曲的ラプラシアンである。
関数 f はカスプ において高々多項式のオーダーである。 弱マース波動形式 (weak Maass wave form) は同様に定義されるが、第三の条件が次で置き換えられる：「関数 f はカスプにおいて高々 linear exponential growth である」。さらに、f が調和 (harmonic) であるとは、ラプラス作用素によって 0 になることをいう。
f
{\displaystyle f}
p におけるその正規化されたフーリエ係数は
p
7
/
64
{\displaystyle p^{7/64}}
Bump, Daniel (1997), Automorphic forms and representations , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 55 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55098-7 , MR 1431508 Maass, Hans (1949), “Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”, Mathematische Annalen 121 : 141–183, doi :10.1007/BF01329622 , MR 0031519 K. Bringmann, A. Folsom, Almost harmonic Maass forms and Kac–Wakimoto characters , Crelle's Journal , Volume 2014, Issue 694, Pages 179–202 (2013). DOI: 10.1515/crelle-2012-0102
W. Duke, J. B. Friedlander and H. Iwaniec, The subconvexity problem for Artin L-Functions , Inventiones Mathematicae , 149, pp. 489–577 (2002). Section 4. DOI: 10.1007/BF01329622. 
