チャーン・ヴェイユ準同型

チャーン・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。

${\displaystyle \mathbb {K} }$ により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ を持っているとする。

${\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}$

で、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の上の ${\displaystyle \mathbb {K} }$ に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。${\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}$ を G の随伴作用の下で次の条件を満たす ${\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}$ の固定点のなす部分代数とする。すべての ${\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.\,}$ に対して、

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,}$

チャーン・ヴェイユ準同型は、${\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}$ からコホモロジー代数（環） ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )}$ への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 B^G のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環）${\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}$ に同型である。

${\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.}$

SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。

準同型の定義

P の中の任意の接続形式 ω を選び、${\displaystyle \Omega }$ を ω についての曲率 2-形式とする。${\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}$ が次数 k の同次多項式として、${\displaystyle f(\Omega )}$ を

${\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}$

で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ は 2k 個の対称群 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$ の置換の符号 ${\displaystyle \sigma }$ である。

→「パフィアン」も参照

すると次のことが示される。

${\displaystyle f(\Omega )}$

は閉形式であり、

${\displaystyle df(\Omega )=0,\,}$

で、ド・ラームコホモロジー類

${\displaystyle f(\Omega )\,}$

は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。

このようにして f から得られるコホモロジー類

${\displaystyle \phi (f)\,}$

について、代数（環）準同型

${\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,}$

を得る。

参考文献

• Bott, R. (1973), “On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, Advances in Math 11: 289?303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
• Chern, S.-S. (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes .
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

  The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

• Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69, JSTOR 1971013, https://jstor.org/stable/1971013 .
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (new ed.), Wiley-Interscience (2004発行) .
• Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, Amer. J. Math. 83: 563-572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896, https://jstor.org/stable/2372896 .
• 特性類と幾何学　森田茂之著　岩波書店