ジップの法則

ジップの法則

確率密度関数 N = 10の両対数スケールのZipf確率密度関数。横軸は順位k。この関数はkの整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。）
累積分布関数 N = 10のZipf累積分布関数。横軸は順位k。（この関数はkの整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。）
母数	${\displaystyle s\geq 0\,}$ (実数) ${\displaystyle N\in \{1,2,3\ldots \}}$ (整数)
台	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,N\}}$
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}}$ ここでHN,sはN番目の一般化調和数
累積分布関数	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}}$
期待値	${\displaystyle {\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}}$
最頻値	${\displaystyle 1\,}$
分散	${\displaystyle {\frac {H_{N,s-2}}{H_{N,s}}}-{\frac {H_{N,s-1}^{2}}{H_{N,s}^{2}}}}$
エントロピー	${\displaystyle {\frac {s}{H_{N,s}}}\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})}$
モーメント母関数	${\displaystyle {\frac {1}{H_{N,s}}}\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}}$
特性関数	${\displaystyle {\frac {1}{H_{N,s}}}\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}}$

ウィキペディア（30ヶ国語版）における単語の出現頻度

ジップの法則（ジップのほうそく、Zipf's law）あるいはジフの法則とは、出現頻度が k 番目に大きい要素が、1位のものの頻度と比較して 1/k に比例するという経験則である。Zipf は「ジフ」と読まれることもある。また、この法則が機能する世界を「ジフ構造」と記する論者もいる。

包括的な理論的説明はまだ成功していないものの、様々な現象に適用できることが知られている。この法則に従う確率分布（離散分布）をジップ分布という。ジップ分布はゼータ分布（英語版）の特殊な形である。

この法則はアメリカの言語学者ジョージ・キングズリー・ジップに帰せられている。ジップ以前に似た観察をしていた先行研究としてFelix Auerbach（英語版）、Jean-Baptiste Estoup（フランス語版）などの研究があり、ジップ自身もそのことを1942年の論文で紹介した[1]。

法則が成立する現象の例

次のような様々な現象（自然現象、社会現象など）に成り立つ場合があることが確認されている：

• 単語の出現頻度：言語全体だけでなく、例えば「ハムレット」など1作品中でも成り立つことが示されている。
• ウェブページへのアクセス頻度
• 都市の人口（都市の順位・規模法則）
• 上位3%の人々の収入
• 音楽における音符の使用頻度
• 細胞内での遺伝子の発現量
• 地震の規模
• 固体が割れたときの破片の大きさ

論理的な定義

一般のジップの法則は

${\displaystyle f(k;s,N)={\frac {1/k^{s}}{\sum _{n=1}^{N}1/n^{s}}}}$

（ただし N は全要素の数、k は順位）と書き表される。

ここで元来のジップの法則では s = 1 である。このとき N を無限大にすると分母は収束しない（無限大に発散する、「調和級数」を参照）ため、元来のジップの法則では N を有限としなければならない（現実にもそう考えられる場合が多い）。

ただし s が1より少しでも大きい実数ならば、N を無限大にしても分母は収束し（ゼータ関数 ζ(s) に等しい）、k の値を無限にとりうる分布関数とすることができる。

関連する概念

ジップの法則は冪乗則 (Power law) の一種である。また、ジップ分布は変数変換によりパレート分布（連続分布）と同じ形になることが示されている。パレート分布の離散型である。パレートの法則はパレート分布の特別な場合に当たり、また80-20の法則とも関係がある。順位規模の法則とも呼ばれる。

脚注

1. Zipf, George Kingsley (1942). “The Unity of Nature, Least-Action, and Natural Social Science”. Sociometry 5 (1): 48–62. doi:10.2307/2784953. ISSN 0038-0431. https://www.jstor.org/stable/2784953. 

関連項目

• パレートの法則
• 80-20の法則