数学 、とくに代数トポロジー において、カップ積 （英 : cup product ）は次数 p , q の2つのコサイクル （英語版 ） p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H ∗ (X ) となる。これをコホモロジー環 と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年にJ. W. Alexander （英語版 ） Eduard Čech （英語版 ） Hassler Whitney （英語版 ） Samuel Eilenberg によって完全なる一般性をもって導入された。
特異コホモロジー において、カップ積 (cup product) は位相空間 X の次数付き コホモロジー環 H ∗ (X ) 上の積を与える構成である。
構成はまずコチェイン （英語版 ） c p p -コチェインで d q q -コチェインのとき、
(
c
p
⌣
d
q
)
(
σ
)
=
c
p
(
σ
∘
ι
0
,
1
,
.
.
.
p
)
⋅
d
q
(
σ
∘
ι
p
,
p
+
1
,
.
.
.
,
p
+
q
)
{\displaystyle (c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}
とする。ここで σ は特異 (p + q ) -単体 で、
ι
S
,
S
⊂
{
0
,
1
,
.
.
.
,
p
+
q
}
{\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}
{
0
,
.
.
.
,
p
+
q
}
{\displaystyle \{0,...,p+q\}}
(
p
+
q
)
{\displaystyle (p+q)}
S によって張られた単体の標準的な埋め込み である。
インフォーマルには、
σ
∘
ι
0
,
1
,
.
.
.
,
p
{\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}
p 番目の前面 であり、
σ
∘
ι
p
,
p
+
1
,
.
.
.
,
p
+
q
{\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}
q 番目の後面 である。
コサイクル cp q コバウンダリ は
δ
(
c
p
⌣
d
q
)
=
δ
c
p
⌣
d
q
+
(
−
1
)
p
(
c
p
⌣
δ
d
q
)
{\displaystyle \delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}})}
によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
H
p
(
X
)
×
H
q
(
X
)
→
H
p
+
q
(
X
)
{\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}
を誘導する。
コホモロジーのカップ積は恒等式
α
p
⌣
β
q
=
(
−
1
)
p
q
(
β
q
⌣
α
p
)
{\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}
を満たすので対応する積は次数付き可換 （英語版 ）
カップ積は次の意味で関手 的である。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
が連続写像であり、
f
∗
:
H
∗
(
Y
)
→
H
∗
(
X
)
{\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}
がコホモロジーに誘導された準同型 であれば、
f
∗
(
α
⌣
β
)
=
f
∗
(
α
)
⌣
f
∗
(
β
)
,
{\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}
が全ての類 α, β ∈ H * (Y ) に対して成り立つ。言い換えると、f * は（次数付き）環準同型 である。
ド・ラームコホモロジー において、微分形式のカップ積はウェッジ積 によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。
絡み数 は絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばで定義できる。これらの2つの絡まった円の補集合は、消えないカップ積を持つトーラスに変位レトラクトする。滑らかな多様体 の2つの部分多様体が横断的に交わる とき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。
同様に、絡み数 は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。
Massey products generalize cup product, allowing one to define "higher order linking numbers", the Milnor invariants .カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、Massey積 （英語版 ） コホモロジー演算 （英語版 ）
