Trinomio notevole

Nel calcolo letterale, precisamente nelle scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole è un polinomio che può essere espresso nella forma:[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\qquad ({\mbox{con }}a,b,c\neq 0)}$

e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.

Metodo di scomposizione

Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da ${\displaystyle 1}$.

Caso a = 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a ${\displaystyle 1}$, il trinomio si presenta nella forma:[1]

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,}$

in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:

${\displaystyle (x+u)(x+v)}$,

dove ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono due termini con le seguenti due proprietà:

• ${\displaystyle u+v=b}$
• ${\displaystyle u\cdot v=c}$.

Eseguendo i conti infatti si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+u)(x+v)&=x^{2}+vx+ux+uv\\&=x^{2}+x(v+u)+uv\\&=x^{2}+bx+c\\\end{aligned}}}$

Un metodo pratico per trovare ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$,

allora:

${\displaystyle (x-u)(x-v)=0\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=u\\x_{2}=v\end{cases}}}$

Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Caso a ≠ 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da ${\displaystyle 1}$ il polinomio si scompone nel modo seguente:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-u)(x-v)}$,

dove ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ possiedono le seguenti proprietà:[2]

• ${\displaystyle u+v=-{\frac {b}{a}}}$
• ${\displaystyle u\cdot v={\frac {c}{a}}}$.

Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-u)(x-v)&=ax^{2}-avx-aux+auv\\&=ax^{2}-ax(v+u)+auv\\&=ax^{2}+bx+c\\\end{aligned}}}$

Come nel caso precedente, ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.

Trinomi di grado superiore a 2

Più in generale se consideriamo il trinomio:[4]

${\displaystyle ax^{h}+bx^{k}+c\qquad {\mbox{con }}h=2k}$

questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili ${\displaystyle x^{k}=t}$ così da ottenere il trinomio:

${\displaystyle at^{2}+bt+c}$,

che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione.

Note

1. Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.p.419
2. Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2, Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7.p.872
3. Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.p.277
4. Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.p.99

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.