Tre grandi problemi dell'antichità

In matematica, i tre grandi problemi dell'antichità, posti dai matematici dell'antica Grecia, non furono risolti (tutti e tre in negativo perché impossibili) solo con lo sviluppo dell'algebra. Sono considerati il punto di partenza della ricerca che ha sviluppato significativamente il corpus matematico[1][2].

I tre problemi sono:

1. La duplicazione del cubo: con riga e compasso è possibile costruire un cubo di volume doppio?
2. La trisezione dell'angolo: con riga e compasso è possibile tagliare in tre parti uguali qualsiasi angolo ?
3. La quadratura del cerchio: con riga e compasso è possibile costruire un quadrato cui area è uguale a quella di un cerchio?

Carl Friedrich Gauss eseguì un importante lavoro preliminare (ampliato dalle analisi di Évariste Galois) su cui si basò Pierre-Laurent Wantzel per dimostrare rigorosamente nel 1837 un teorema generale da cui risulta l'impossibilità della duplicazione del cubo e della trisezione dell'angolo con riga e compasso[3]. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann dimostrò che il pi greco è un numero trascendente[4], mostrando infine l'impossibilità dell'ultimo problema, la quadratura del cerchio.

A questo elenco di problemi, alcuni autori aggiungono alla riga e al compasso la costruzione di poligoni regolari. Questo problema venne completamente risolto dal teorema di Gauss-Wantzel, mostrando in particolare che anche l'ettagono regolare è impossibile da costruire con riga e compasso.

Note

1. (FR) LES TROIS GRANDS PROBLEMES DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE NON RESOLUBLES AVEC LA REGLE ET LE COMPAS SEULS (PDF), su irem.univ-mrs.fr, IREM Aix-Marseille.
2. (FR) Les trois problèmes de l'Antiquité, su maths-et-tiques.fr.
3. (FR) L. Wantzel, Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (PDF), in J. Math. Pures Appl., 1, vol. 2, 1837, p. 366-372..
4. (DE) F. Lindemann, Über die Zahl π, in Math. Ann., vol. 20, 1882, p. 213-225, DOI:10.1007/BF01446522.