Teorema di Norton

Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Norton è un teorema che afferma che un qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due nodi A-B è equivalente ad un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con un resistore: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei nodi A-B. Pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs, è il duale del teorema di Thévenin.

Enunciato

Generatore di corrente equivalente

Un circuito lineare tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente la cui corrente impressa ${\displaystyle J_{eq}}$ è pari alla corrente di cortocircuito ai nodi A-B ossia alla corrente che vi circola quando gli stessi vengano cortocircuitati e la cui conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{eq}}$ è pari alla conduttanza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.

La conduttanza è data dal reciproco della resistenza: ${\displaystyle G={1 \over R}}$.

La conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{e}}$ può anche essere ottenuta dalla relazione

• ${\displaystyle G_{e}={J_{eq} \over E_{0}}}$

nella quale ${\displaystyle E_{0}}$ rappresenta la tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza dei nodi A-B quando gli stessi vengano aperti.

Semplice dimostrazione del teorema di Norton

Dualità Thévenin-Norton: a sinistra è riportato il circuito equivalente di Thévenin, a destra quello di Norton.

Il teorema di Norton può essere facilmente dimostrato facendo leva sul teorema di Thévenin di cui è il duale.

Il teorema di Thévenin afferma che la tensione ${\displaystyle V}$ e la corrente ${\displaystyle I}$ presenti ai nodi A-B del circuito sono legate dalla relazione

• ${\displaystyle V=E_{0}-R_{eq}I}$

dove ${\displaystyle E_{0}}$ è la tensione che si manifesta a vuoto nei nodi A-B ossia quando il circuito venga aperto in corrispondenza degli stessi e dove ${\displaystyle R_{eq}}$ è pari alla resistenza equivalente che si vede dai nodi A-B guardando dentro il circuito dopo aver annullato i generatori in esso presenti.

Se moltiplichiamo entrambi i membri della relazione per ${\displaystyle G_{eq}}$ otteniamo:

• ${\displaystyle VG_{eq}=E_{0}G_{eq}-R_{eq}G_{eq}I}$

Questa formula può essere interpretata come la somma di tre correnti:

• ${\displaystyle J_{G}=VG_{eq}}$: corrente che circola nella conduttanza ${\displaystyle G_{eq}}$ quando nei nodi A-B è presente la tensione ${\displaystyle V}$ dovuta alla presenza del suo normale carico;
• ${\displaystyle J_{eq}=E_{0}G_{eq}}$: corrente che circola nella conduttanza ${\displaystyle G_{eq}}$ quando nei nodi A-B il circuito sia stato aperto;
• ${\displaystyle R_{eq}G_{eq}I=I}$: corrente di carico che circola in corrispondenza dei nodi A-B (${\displaystyle R_{eq}G_{eq}=1}$ essendo l'una il reciproco dell'altra).

Abbiamo quindi:

• ${\displaystyle J_{G}=J_{eq}-I}$

dove ${\displaystyle J_{eq}}$ è proprio quella del generatore di corrente dell'enunciato del teorema di Norton, ${\displaystyle I}$ è la corrente di carico e ${\displaystyle J_{G}}$ è la corrente ${\displaystyle VG_{eq}}$ che circola nella conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{eq}}$ a causa della tensione ${\displaystyle V}$. Tale formula si traduce nel circuito di destra della figura sopra riportata (c.v.d.).

Teorema di Norton simbolico

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica ${\displaystyle {\bar {J_{eq}}}}$ è pari al fasore della corrente di cortocircuito ${\displaystyle {\bar {I_{cc}}}}$ e la cui ammettenza equivalente ${\displaystyle {\dot {Y_{eq}}}}$ è pari all'ammettenza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B, ovvero al rapporto tra la corrente di cortocircuito${\displaystyle {\bar {I_{cc}}}}$ e la tensione a vuoto ${\displaystyle {\bar {E_{0}}}}$ ai nodi A-B:

• ${\displaystyle {\bar {J_{eq}}}={\bar {I_{cc}}}}$
• ${\displaystyle {\dot {Y}}_{eq}={\dot {Y}}_{i}={{\bar {I_{cc}}} \over {\bar {E_{0}}}}}$

L'ammettenza equivalente è quella risultante ai nodi A-B quando la rete è resa passiva, avendo annullato i suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Calcolo del circuito equivalente

Il circuito originale.
Calcolo della corrente equivalente di uscita.
Calcolo della resistenza.
Il circuito equivalente.

Si consideri il circuito in figura di cui si vuole determinare il circuito equivalente di Norton calcolandone la corrente di cortocircuito ${\displaystyle I_{cc}}$ e la resistenza equivalente ${\displaystyle R_{eq}}$.

Per il calcolo della ${\displaystyle I_{cc}}$ si procede nel seguente modo:

1. si cortocircuitano i terminali di uscita;
2. si calcola la corrente che attraversa il cortocircuito la quale sarà pari alla corrente equivalente ${\displaystyle I_{cc}}$.

Per il calcolo della ${\displaystyle R_{eq}}$ si procede nel seguente modo:

1. si annullano i generatori di tensione sostituendoli con dei cortocircuiti e quelli di corrente sostituendoli con un circuito aperto;
2. si calcola la resistenza tra i terminali di uscita la quale sarà pari alla resistenza ${\displaystyle R_{eq}}$.

Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente ${\displaystyle I_{cc}}$ in parallelo a una resistenza ${\displaystyle R_{eq}}$, ai cui capi si trovano i terminali di uscita.

Nell'esempio riportato nelle figure a fianco, la corrente ${\displaystyle I_{cc}}$ si calcola come segue:

${\displaystyle I_{\mathrm {tot} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +(1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))}=5,625\mathrm {mA} }$

${\displaystyle I_{cc}={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {tot} }=3,75\mathrm {mA} }$

La resistenza equivalente ${\displaystyle R_{eq}}$ sarà:

${\displaystyle R_{eq}=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega }$

Il circuito equivalente di Norton sarà costituito da un generatore di corrente di 3,75 mA in parallelo a una resistenza di 2 kΩ.

Voci correlate

• Teorema di Thévenin
• Ammettenza

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