Teorema di Hartogs

In matematica, il teorema di Hartogs è un risultato fondamentale dell'analisi complessa in più variabili dimostrato da Friedrich Hartogs. Il teorema afferma che ogni funzione a valori complessi F definita su C^n, con n > 1, ed analitica in ogni variabile z_i , 1 ≤ i ≤ n, con le altre variabili considerate costanti, è continua.

Un corollario afferma che sotto le stesse ipotesi del teorema, la funzione F non solo è continua, ma è anche analitica come funzione in n-variabili (equivalentemente, F si può espandere localmente nella sua serie di Taylor). In altre parole, la separata analiticità e l'analiticità sono nozioni coincidenti nella teoria delle funzioni complesse in più variabili.

Nota che l'analogo di questo teorema per funzioni di più variabili reali è falso. Infatti, se assumiamo che una funzione

${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }}$

è differenziabile (o anche analitica) in ciascuna variabile separatamente, non è necessariamente vero che ${\displaystyle f}$ è continua. Un controesempio in due dimensioni è dato dalla funzione

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Questa funzione è derivabile in ${\displaystyle x}$ e in ${\displaystyle y}$ (separatamente) in 0, ma non è continua in 0 (i limiti lungo le linee ${\displaystyle x=y}$ e ${\displaystyle x=-y}$ danno risultati diversi).

Bibliografia

• Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 978-0-8218-2724-6.

Collegamenti esterni

• (EN) Hartogs's theorem on separate analyticity, in PlanetMath.