Teorema di Gel'fond-Schneider

In matematica, il teorema di Gel'fond-Schneider è un teorema che stabilisce la trascendenza di una grande classe di numeri e risolve così il settimo problema di Hilbert.

Fu dimostrato indipendentemente nel 1934 dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond[1] e da Theodor Schneider.

Enunciato

Il teorema afferma che dati due numeri complessi a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, ogni valore di ${\displaystyle a^{b}}$ è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come ${\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$, ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di ${\displaystyle 2^{i}}$ o di ${\displaystyle i^{i}}$.

Il teorema è in generale falso se b è (irrazionale) trascendente, come ad esempio nel caso di ${\displaystyle a=2}$ e ${\displaystyle b={\frac {\log 3}{\log 2}}}$ (${\displaystyle a^{b}=3}$ è chiaramente non trascendente). Casi come ${\displaystyle e^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$ o ${\displaystyle \pi ^{e}}$ sono dunque tuttora aperti. Curiosamente però si sa in base al teorema di Gel'fond che ${\displaystyle e^{\pi }}$ (nota come costante di Gel'fond) è trascendente visto che ${\displaystyle e^{\pi }}$ si può scrivere anche come ${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i}}$ a cui il teorema è applicabile.

Note

1. Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, in Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII, n. 4, 1934, pp. 623–634.

Collegamenti esterni

• (EN) Gelfond’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Gel'fond-Schneider, su MathWorld, Wolfram Research.