Il teorema di Brothers-Ziemer afferma che la norma Lp del gradiente di una funzione è sempre maggiore o uguale della norma Lp del gradiente del suo riordinamento monotono decrescente. Se inoltre la misura n-1 dei punti a gradiente nullo è zero vale l'uguaglianza a meno di traslazione.
Se si indica con il volume della sfera unitaria di e con il sup-essenziale della funzione , eventualmente anche , si definisce la misura dei sopralivelli per come:
e vale l'uguaglianza tra i due integrali, allora la funzione è uguale quasi ovunque a una traslata di .
Conseguenze
Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della disuguaglianza di Pólya-Szegő. Esso afferma che il riordinamento radiale di una funzione ha norma minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo il riordinamento tale proprietà; potrebbero comunque esistere funzioni che non hanno simmetria radiale ma che minimizzano tale norma.
In figura è presentata una funzione non simmetrica ed il suo riordinamento radiale. È evidente in questo caso che la norma delle due funzioni è la stessa. L'esempio costruito presenta una funzione in cui l'insieme dei punti a gradiente nullo è positivo.
Il teorema di Brothers e Ziemer, con l'ulteriore ipotesi che l'insieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma sono tutte e sole quelle a simmetria radiale.
Il teorema di Brothers e Ziemer risulta particolarmente comodo per stabilire il valore delle costanti ottimali nelle disuguaglianze di Sobolev.
Bibliografia
(EN) J. Brothers, W.Ziemer, Minimal rearrangements of Sobolev functions, J. Reine Angew Math. 384 (1988), 153-179