Tabella di Cayley

Una tabella di Cayley, detta anche tavola di composizione, è una tabella a doppia entrata che descrive la struttura di un gruppo finito. Deve il nome al matematico britannico Arthur Cayley.

La tabella mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi del gruppo, in modo simile ad una tavola pitagorica. Permette di trovare velocemente l'inverso di un dato elemento e di dedurre proprietà del gruppo quali l'abelianità o il centro.

Dato un gruppo ${\displaystyle G=\left\{g_{1},g_{2},g_{3},...\right\}}$ con operazione binaria ${\displaystyle \star }$, la tabella di Cayley mostra, per ogni coppia di elementi ${\displaystyle g_{i},g_{j}\in G}$, il risultato dell'operazione ${\displaystyle g_{i}\star g_{j}}$. L'intersezione della riga ${\displaystyle i}$ e della colonna ${\displaystyle j}$ contiene quindi il risultato del prodotto ${\displaystyle g_{i}\star g_{j}}$.

Un semplice esempio è la tabella di Cayley per il gruppo ${\displaystyle \{1,-1\}}$ con moltiplicazione ordinaria.

×	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Struttura

Siccome una tabella di Cayley può essere usata per descrivere gruppi che non sono abeliani, il prodotto ${\displaystyle a\star b}$ potrebbe essere diverso da ${\displaystyle b\star a}$ per una qualche scelta di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartenenti a ${\displaystyle G}$. Per evitare ambiguità, è in uso la convenzione che l'elemento corrispondente alla riga è a sinistra dell'operazione di moltiplicazione, e quello che corrisponde alla colonna è a destra: quindi l'intersezione della riga di ${\displaystyle a}$ e della colonna di ${\displaystyle b}$ contiene ${\displaystyle a\star b}$ e non ${\displaystyle b\star a}$, come nel seguente esempio:

${\displaystyle \star }$	a	b	c
a	a^2	ab	ac
b	ba	b^2	bc
c	ca	cb	c^2

Proprietà

Siccome la moltiplicazione in un gruppo abeliano è commutativa, una tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale se e solo se il gruppo che rappresenta è abeliano. Il gruppo ${\displaystyle \left\{1,-1\right\}}$ con moltiplicazione ordinaria, mostrato sopra, è un esempio di gruppo con tabella simmetrica.

A causa della proprietà di cancellazione degli elementi di un gruppo, una qualsiasi colonna o riga non può contenere un dato elemento più di una volta. Ne consegue che le righe e le colonne sono permutazioni degli elementi del gruppo.

La tabella di Cayley di un gruppo è quindi un esempio di quadrato latino.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Tabella di Cayley, su MathWorld, Wolfram Research.