Smoothstep

Grafico delle funzioni di primo ordine (smoothstep) e secondo ordine (smootherstep) normalizzate nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$

Smoothstep è una famiglia di funzioni sigmoidee usate per l'interpolazione hermitiana e per il clamping in computer grafica,[1][2] motori grafici,[3] e apprendimento automatico.[4]

Le smoothstep sono funzioni di una variabile reale a valori in ${\displaystyle [0,1]}$, caratterizzate da due parametri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ rappresentanti gli estremi di un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ di valori nel dominio. Per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, smoothstep mappa i valori ${\displaystyle x\in (a,b)}$ all'intervallo ${\displaystyle (0,1)}$, mentre tutti i valori ${\displaystyle x\leq a}$ sono mappati in zero, e tutti i valori ${\displaystyle x\geq b}$ sono mappati in 1. Una funzione smoothstep normalizzata ha parametri ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle b=1}$. Nel seguito, quando non differentemente specificato, si assume che la funzione smoothstep sia normalizzata.

La funzione smoothstep di ordine ${\displaystyle n}$ interpola i valori tra 0 e 1 in modo tale che:

• quando la variabile è all'estremo sinistro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 0;
• quando la variabile è all'estremo destro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 1;
• le derivate (fino all'ordine ${\displaystyle n}$) della funzione presso gli estremi destro e sinistro abbiano valore zero.

Una funzione polinomiale che soddisfi tali vincoli può essere definita tramite l'interpolazione di Hermite. La funzione smoothstep per antonomasia è quella di primo ordine ${\displaystyle \operatorname {S} _{1}(x)}$, definita da un polinomio di terzo grado:

${\displaystyle \operatorname {smoothstep} (x)=\operatorname {S} _{1}(x)={\begin{cases}0,&x<0,\\3x^{2}-2x^{3},&0\leq x\leq 1,\\1,&x>1.\\\end{cases}}}$

Restringendo il dominio in ${\displaystyle [0,1]}$, la sua inversa può essere espressa analiticamente come:

${\displaystyle \operatorname {S} _{1}^{-1}(x)={\frac {1}{2}}-\sin \left({\frac {\sin ^{-1}(1-2x)}{3}}\right).}$

La funzione smoothstep di ordine ${\displaystyle n}$ è rappresentata nella porzione centrale da un polinomio di Hermite di grado ${\displaystyle 2n+1}$ e ha forma:

${\displaystyle \operatorname {S} _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0,\\x^{n+1},\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k}{k}}{\binom {2n+1}{n-k}}(-x)^{k}&0\leq x\leq 1,\\1,&x>1.\\\end{cases}}}$

La funzione smoothstep di ordine zero ${\displaystyle \operatorname {S} _{0}(x)}$ è equivalente alla funzione identità troncata (nota in alcuni contesti, ad esempio in computer grafica, come funzione clamp):

${\displaystyle \operatorname {S} _{0}(x)={\begin{cases}0,&x<0,\\x,&0\leq x\leq 1,\\1,&x>1.\\\end{cases}}}$

La funzione smoothstep di secondo ordine ${\displaystyle \operatorname {S} _{2}(x)}$, anche nota come smootherstep[5][6] e popolarizzata in computer grafica da Ken Perlin,[7][8][9] ha forma:

${\displaystyle \operatorname {smootherstep} (x)=S_{2}(x)={\begin{cases}0,&x<0,\\6x^{5}-15x^{4}+10x^{3},&0\leq x\leq 1,\\1,&x>1.\\\end{cases}}}$

Le successive funzioni smoothstep fino al sesto ordine sono rappresentate nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ dai seguenti polinomi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {S} _{3}(x)&=-20x^{7}+70x^{6}-84x^{5}+35x^{4};\\\operatorname {S} _{4}(x)&=70x^{9}-315x^{8}+540x^{7}-420x^{6}+126x^{5};\\\operatorname {S} _{5}(x)&=-252x^{11}+1386x^{10}-3080x^{9}+3465x^{8}-1980x^{7}+462x^{6};\\\operatorname {S} _{6}(x)&=924x^{13}-6006x^{12}+16380x^{11}-24024x^{10}+20020x^{9}-9009x^{8}+1716x^{7}.\\\end{aligned}}}$

Note

1. Smoothstep at Microsoft Developer Network.
2. GLSL Language Specification, Version 1.40.
3. Unity game engine SmoothStep documentation.
4. Hussein Hazimeh, Natalia Ponomareva, Petros Mol, Zhenyu Tan e Rahul Mazumder, The Tree Ensemble Layer: Differentiability meets Conditional Computation (PDF), International Conference on Machine Learning, PMLR, 2020. URL consultato il 30 gennaio 2022 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2021).
5. tfp.math.smootherstep | Tensorflow, su tensorflow.org (archiviato dall'url originale il 2 novembre 2021).
6. SmootherStep | Wolfram Function Repository, su resources.wolframcloud.com (archiviato dall'url originale il 18 febbraio 2021).
7. Ken Perlin, An Image Synthesizer, ACM SIGGRAPH, vol. 24, n. 3, 1985.
8. Ken Perlin, Improving noise, ACM transactions on graphics, vol. 21, n. 3, luglio 2002, pp. 681-682.
9. Ken Perlin, Texturing and Modeling, Third Edition: A Procedural Approach.