Simmetria centrale

In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle A'}$ si dicono simmetrici rispetto a un punto ${\displaystyle O}$ quando ${\displaystyle O}$ è il punto medio del segmento ${\displaystyle AA'.}$ Il punto ${\displaystyle A'}$ si dice il simmetrico di ${\displaystyle A}$ rispetto a ${\displaystyle O}$ e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto ${\displaystyle A}$ il punto ${\displaystyle A'}$ suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro ${\displaystyle O.}$

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione ${\displaystyle \sigma _{O}}$ per indicare la simmetria centrale di centro ${\displaystyle O;}$ il simmetrico di ${\displaystyle A}$ si scrive ${\displaystyle A'=\sigma _{O}(A)}$.

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

La simmetria centrale in coordinate cartesiane

Nel piano cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la simmetria centrale di centro ${\displaystyle O(x_{0},y_{0})}$ è una corrispondenza biunivoca

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x',y')}$

definita nel modo seguente:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x+2x_{0}\\y'=-y+2y_{0}.\end{cases}}}$

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la simmetria di centro ${\displaystyle O(x_{01},x_{02},\ldots ,x_{0n})}$ è descritta come

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{O}\colon \mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} ^{n}\\(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\mapsto (x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'),\end{aligned}}}$

dove

${\displaystyle x_{k}'=-x_{k}+2\,x_{0k},\quad k=1,2,\ldots ,n.}$

Scrittura matriciale

Figure simmetriche

Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Simmetria centrale, su MathWorld, Wolfram Research.