Residuo quadratico

In teoria dei numeri, un numero intero ${\displaystyle q}$ è chiamato residuo quadratico modulo ${\displaystyle p}$ se esiste un intero ${\displaystyle x}$ tale che:

${\displaystyle {x^{2}}\equiv {q}{\mbox{ (mod }}p{\mbox{)}}.}$

In caso contrario, ${\displaystyle q}$ è detto essere un non-residuo quadratico.

In effetti, un residuo quadratico modulo ${\displaystyle p}$ è un numero che ammette una radice quadrata nell'aritmetica modulare di modulo ${\displaystyle p}$. La legge di reciprocità quadratica è un mezzo importante per determinare se un numero è un residuo o un non-residuo, unitamente al simbolo di Legendre ed al lemma di Gauss.

Se ${\displaystyle p}$ è un numero primo dispari, allora metà dei numeri ${\displaystyle 1,2,\ldots ,p-1}$ sono residui e metà non-residui quadratici.

Somma dei residui quadratici

Considerando la somma dei residui quadratici modulo ${\displaystyle p}$ con ${\displaystyle p}$ primo maggiore di ${\displaystyle 3}$, ed indicandola con ${\displaystyle \sum r}$, si ha:

${\displaystyle \sum r={\begin{cases}p\epsilon ,&{\text{se }}p\equiv 1,5{\pmod {8}},\\{\frac {1}{3}}p(p-1-\epsilon ),&{\text{se }}p\equiv 3{\pmod {8}},\\{\frac {1}{2}}p(p-1-2\epsilon ),&{\text{se }}p\equiv 7{\pmod {8}},\\\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle \epsilon ={\frac {p-1}{4}}}$ è il numero dei residui quadratici in ${\displaystyle \left\{1,2,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}\right\}}$.

Bibliografia

• H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolo III

Voci correlate

• Reciprocità quadratica
• Simbolo di Legendre
• Simbolo di Jacobi
• Lemma di Gauss (teoria dei numeri)
• Criterio di Eulero

Collegamenti esterni

• MathWorld: Quadratic Residue, su mathworld.wolfram.com.

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