Relazione di dispersione

In fisica, la relazione (o legge) di dispersione è una relazione tra l'energia di un sistema e la sua corrispondente quantità di moto. Per esempio, per particelle di massa nello spazio vuoto, la relazione di dispersione può facilmente essere calcolata dalla definizione dell'energia cinetica:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

In questo caso la relazione di dispersione è una funzione quadratica.

In caso di fenomeni ondulatori la relazione di dispersione è espressa in termini della frequenza angolare ${\displaystyle \omega }$ in funzione del vettore d'onda ${\displaystyle k}$. Ad esempio, la relazione di dispersione della luce è lineare:

${\displaystyle \omega =ck}$

dove c è la velocità della luce.

Nella teoria della relatività ristretta, oltre all'energia cinetica, si considera anche l'energia a riposo ${\displaystyle mc^{2}}$, dove ${\displaystyle m}$ è la massa a riposo:

${\displaystyle E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+(mv\gamma (v))^{2}}}}$,

dove ${\displaystyle \gamma (v)}$ è il fattore di Lorentz e il secondo termine non è altro che la quantità di moto relativistica. Questa relazione è particolarmente utile in regime relativistico, ovvero quando ${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}\approx 1}$.

In meccanica quantistica le particelle possono essere descritte come onde. Secondo le relazioni proposte da Louis de Broglie l'energia e la quantità di moto sono legate alla frequenza e al vettore d'onda dalla costante ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$, dove h è la costante di Planck:

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k}$.

In termini ondulatori, la relazione di dispersione di una particella libera diventa

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$.

Legge di dispersione per PDE

Per una PDE lineare evolutiva si chiama legge di dispersione il legame che si trova tra ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle k}$ quando come soluzione della PDE inserisco l'ansatz ${\displaystyle u(x,t)=e^{i(kx+\omega t)}}$

• Per l'equazione delle onde ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0}$, ottengo che la legge di dispersione è ${\displaystyle \omega =\pm ck}$. Poiché è una relazione lineare e a coefficienti reali, l'equazione delle onde è detta essere non dispersiva.
• Per l'equazione del calore ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0}$ (ove ${\displaystyle D}$ è il coefficiente di diffusione) ho che la legge di dispersione è ${\displaystyle \omega =iDk^{2}}$. Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti complessi, l'equazione del calore è detta essere dissipativa.
• Per l'equazione di Schrödinger ${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-\epsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0}$ ho che la legge di dispersione è ${\displaystyle \omega =\epsilon k^{2}}$.Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti reali, l'equazione di Schrödinger è detta essere dispersiva.

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Collegamenti esterni

• (EN) dispersion relation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Relazione di dispersione, su MathWorld, Wolfram Research.