Pseudoprimo di Eulero

Un numero n è detto pseudoprimo di Eulero in base a (con MCD(n,a)=1) se è un numero dispari composto e

${\displaystyle a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1\mod n}$

dove mod è l'operazione modulo.

Questi numeri sono detti pseudoprimi perché tutti i numeri primi verificano questa proprietà, in base al piccolo teorema di Fermat. Infatti, secondo questo ogni numero a coprimo con n verifica

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1\mod p}$

Se ora p>2, si ha

${\displaystyle a^{2\cdot {\frac {p-1}{2}}}\equiv 1\mod p}$, ovvero ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1\mod p}$

Una forma più forte della relazione precedente è

${\displaystyle a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right)}$

dove (a/n) è il simbolo di Legendre. Un numero che verifica questa uguaglianza è detto pseudoprimo di Eulero-Jacobi in base a. Ogni pseudoprimo di Eulero-Jacobi è anche uno pseudoprimo di Eulero, poiché il simbolo di Legendre può essere solamente 1 e -1, tuttavia esistono numeri del secondo tipo che non appartengono al primo insieme. Ad esempio 9 è uno pseudoprimo di Eulero in base 17, ma non uno pseudoprimo di Eulero-Jacobi; mentre in base 19 è uno pseudoprimo di Eulero e di Eulero-Jacobi. Infatti:

${\displaystyle (17)^{(9-1)/2}\equiv (-1)^{4}=1\mod 9}$

${\displaystyle (17)^{(9-1)/2}\equiv (-1)^{4}=1\neq -1=\left({\frac {17}{9}}\right)\mod 9}$

Invece,

${\displaystyle (19)^{(9-1)/2}\equiv (1)^{4}=1\mod 9}$.

${\displaystyle (19)^{(9-1)/2}\equiv (1)^{4}=1=1=\left({\frac {19}{9}}\right)\mod 9}$

La differenza dei due casi (pseudoprimi di Eulero o di Eulero-Jacobi) si trova nella scelta di +1 o -1, che rende più raffinata la valutazione di Eulero-Jacobi.

Ogni pseudoprimo di Eulero è anche uno pseudoprimo di Fermat in base a, ma non vale il viceversa.

Esistono inoltre numeri che sono pseudoprimi di Eulero in ogni base a coprima con loro stessi; tali numeri sono detti pseudoprimi assoluti di Eulero. Questi numeri sono un sottoinsieme degli pseudoprimi assoluti di Fermat, generalmente chiamati numeri di Carmichael. Il più piccolo pseudoprimo assoluto di Eulero è 1729.

Voci correlate

• Piccolo teorema di Fermat
• Numero primo
• Pseudoprimo
• Pseudoprimo forte
• Test di Wilson
• Test di Lucas-Lehmer
• Test di Miller-Rabin